Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28170 / 43598
↖ ↑ ↗
← S 51.006842°
W 25.257568°		 ← 384.32 m → S 51.006842°
W 25.252075°		 →
↑
384.30 m
↓
↑
384.30 m
↓
S 51.010298°
W 25.257568°		 ← 384.30 m →
147 690 m²		 S 51.010298°
W 25.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429847717285156 y=0.665260314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429847717285156 × 216)
    floor (0.429847717285156 × 65536)
    floor (28170.5)     		tx = 28170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665260314941406 × 216)
    floor (0.665260314941406 × 65536)
    floor (43598.5)     		ty = 43598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28170 / 43598 ti = "16/28170/43598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28170/43598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28170 ÷ 216
    28170 ÷ 65536     		x = 0.429840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43598 ÷ 216
    43598 ÷ 65536     		y = 0.665252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.33050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44082773} λ = -0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03831324577042))-π/2
    2×atan(0.354051376235364)-π/2
    2×0.340279494064017-π/2
    0.680558988128034-1.57079632675     		φ = -0.89023734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89023734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.006842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28170 KachelY 43598 -0.44082773 -0.89023734 -25.257568 -51.006842
    Oben rechts KachelX + 1 28171 KachelY 43598 -0.44073186 -0.89023734 -25.252075 -51.006842
    Unten links KachelX 28170 KachelY + 1 43599 -0.44082773 -0.89029766 -25.257568 -51.010298
    Unten rechts KachelX + 1 28171 KachelY + 1 43599 -0.44073186 -0.89029766 -25.252075 -51.010298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89023734--0.89029766) × R
    6.03200000000026e-05 × 6371000     		dl = 384.298720000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89023734--0.89029766) × R
    6.03200000000026e-05 × 6371000     		dr = 384.298720000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44082773--0.44073186) × cos(-0.89023734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629227578639394 × 6371000     		do = 384.324509579647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44082773--0.44073186) × cos(-0.89029766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629180695517327 × 6371000     		du = 384.295873942069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89023734)-sin(-0.89029766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629227578639394-0.629180695517327)×R²
    abs(-0.44073186--0.44082773)×4.68831220673538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68831220673538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68831220673538e-05×40589641000000     		ar = 147689.914821413m²