Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28170 / 29195
↖ ↑ ↗
← N 70.130098°
W102.628784°		 ← 103.81 m → N 70.130098°
W102.626037°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
N 70.129164°
W102.628784°		 ← 103.81 m →
10 781 m²		 N 70.129164°
W102.626037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.214923858642578 y=0.222743988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.214923858642578 × 217)
    floor (0.214923858642578 × 131072)
    floor (28170.5)     		tx = 28170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222743988037109 × 217)
    floor (0.222743988037109 × 131072)
    floor (29195.5)     		ty = 29195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28170 / 29195 ti = "17/28170/29195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28170/29195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28170 ÷ 217
    28170 ÷ 131072     		x = 0.214920043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29195 ÷ 217
    29195 ÷ 131072     		y = 0.222740173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.214920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.570159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.79121019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222740173339844 × 2 - 1) × π
    0.554519653320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.74207486909246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79121019} λ = -1.79121019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74207486909246))-π/2
    2×atan(5.70917693669973)-π/2
    2×1.39739872132365-π/2
    2.79479744264731-1.57079632675     		φ = 1.22400112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79121019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.628784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22400112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.130098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28170 KachelY 29195 -1.79121019 1.22400112 -102.628784 70.130098
    Oben rechts KachelX + 1 28171 KachelY 29195 -1.79116225 1.22400112 -102.626037 70.130098
    Unten links KachelX 28170 KachelY + 1 29196 -1.79121019 1.22398482 -102.628784 70.129164
    Unten rechts KachelX + 1 28171 KachelY + 1 29196 -1.79116225 1.22398482 -102.626037 70.129164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22400112-1.22398482) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22400112-1.22398482) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79121019--1.79116225) × cos(1.22400112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339885556422911 × 6371000     		do = 103.809797585711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79121019--1.79116225) × cos(1.22398482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339900885986655 × 6371000     		du = 103.814479629062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22400112)-sin(1.22398482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339885556422911-0.339900885986655)×R²
    abs(-1.79116225--1.79121019)×1.53295637446704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53295637446704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53295637446704e-05×40589641000000     		ar = 10780.6103019801m²