Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28169 / 43587
↖ ↑ ↗
← S 50.968806°
W 25.263061°		 ← 384.64 m → S 50.968806°
W 25.257568°		 →
↑
384.62 m
↓
↑
384.62 m
↓
S 50.972265°
W 25.263061°		 ← 384.61 m →
147 934 m²		 S 50.972265°
W 25.257568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429832458496094 y=0.665092468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429832458496094 × 216)
    floor (0.429832458496094 × 65536)
    floor (28169.5)     		tx = 28169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665092468261719 × 216)
    floor (0.665092468261719 × 65536)
    floor (43587.5)     		ty = 43587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28169 / 43587 ti = "16/28169/43587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28169/43587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28169 ÷ 216
    28169 ÷ 65536     		x = 0.429824829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43587 ÷ 216
    43587 ÷ 65536     		y = 0.665084838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429824829101562 × 2 - 1) × π
    -0.140350341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44092360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665084838867188 × 2 - 1) × π
    -0.330169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03725863397878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44092360} λ = -0.44092360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03725863397878))-π/2
    2×atan(0.354424959949859)-π/2
    2×0.340611425470177-π/2
    0.681222850940355-1.57079632675     		φ = -0.88957348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44092360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.263061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88957348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.968806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28169 KachelY 43587 -0.44092360 -0.88957348 -25.263061 -50.968806
    Oben rechts KachelX + 1 28170 KachelY 43587 -0.44082773 -0.88957348 -25.257568 -50.968806
    Unten links KachelX 28169 KachelY + 1 43588 -0.44092360 -0.88963385 -25.263061 -50.972265
    Unten rechts KachelX + 1 28170 KachelY + 1 43588 -0.44082773 -0.88963385 -25.257568 -50.972265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88957348--0.88963385) × R
    6.03699999999208e-05 × 6371000     		dl = 384.617269999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88957348--0.88963385) × R
    6.03699999999208e-05 × 6371000     		dr = 384.617269999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44092360--0.44082773) × cos(-0.88957348) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.629743405954303 × 6371000     		do = 384.639570595248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44092360--0.44082773) × cos(-0.88963385) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.629696509196376 × 6371000     		du = 384.610926629053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88957348)-sin(-0.88963385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629743405954303-0.629696509196376)×R²
    abs(-0.44082773--0.44092360)×4.68967579264623e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.68967579264623e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.68967579264623e-05×40589641000000     		ar = 147933.513139148m²