Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28168 / 44552
↖ ↑ ↗
← S 54.188156°
W 25.268555°		 ← 357.42 m → S 54.188156°
W 25.263061°		 →
↑
357.35 m
↓
↑
357.35 m
↓
S 54.191369°
W 25.268555°		 ← 357.40 m →
127 721 m²		 S 54.191369°
W 25.263061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429817199707031 y=0.679817199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429817199707031 × 216)
    floor (0.429817199707031 × 65536)
    floor (28168.5)     		tx = 28168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679817199707031 × 216)
    floor (0.679817199707031 × 65536)
    floor (44552.5)     		ty = 44552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28168 / 44552 ti = "16/28168/44552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28168/44552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28168 ÷ 216
    28168 ÷ 65536     		x = 0.4298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44552 ÷ 216
    44552 ÷ 65536     		y = 0.6798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44101948} λ = -0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12977685024548))-π/2
    2×atan(0.323105349257574)-π/2
    2×0.312517299043241-π/2
    0.625034598086482-1.57079632675     		φ = -0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28168 KachelY 44552 -0.44101948 -0.94576173 -25.268555 -54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 28169 KachelY 44552 -0.44092360 -0.94576173 -25.263061 -54.188156
    Unten links KachelX 28168 KachelY + 1 44553 -0.44101948 -0.94581782 -25.268555 -54.191369
    Unten rechts KachelX + 1 28169 KachelY + 1 44553 -0.44092360 -0.94581782 -25.263061 -54.191369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94576173--0.94581782) × R
    5.60900000000641e-05 × 6371000     		dl = 357.349390000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94576173--0.94581782) × R
    5.60900000000641e-05 × 6371000     		dr = 357.349390000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44101948--0.44092360) × cos(-0.94576173) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 357.424673397533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44101948--0.44092360) × cos(-0.94581782) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58507984260866 × 6371000     		du = 357.396887775639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94576173)-sin(-0.94581782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.58507984260866)×R²
    abs(-0.44092360--0.44101948)×4.54867063486297e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54867063486297e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54867063486297e-05×40589641000000     		ar = 127720.524456037m²