Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28166 / 29191
↖ ↑ ↗
← N 70.133832°
W102.639771°		 ← 103.79 m → N 70.133832°
W102.637024°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.132898°
W102.639771°		 ← 103.80 m →
10 772 m²		 N 70.132898°
W102.637024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.214893341064453 y=0.222713470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.214893341064453 × 217)
    floor (0.214893341064453 × 131072)
    floor (28166.5)     		tx = 28166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222713470458984 × 217)
    floor (0.222713470458984 × 131072)
    floor (29191.5)     		ty = 29191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28166 / 29191 ti = "17/28166/29191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28166/29191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28166 ÷ 217
    28166 ÷ 131072     		x = 0.214889526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29191 ÷ 217
    29191 ÷ 131072     		y = 0.222709655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.214889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.570220947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.79140194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222709655761719 × 2 - 1) × π
    0.554580688476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.74226661669094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79140194} λ = -1.79140194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74226661669094))-π/2
    2×atan(5.71027176262841)-π/2
    2×1.39743130450562-π/2
    2.79486260901124-1.57079632675     		φ = 1.22406628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79140194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.639771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22406628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.133832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28166 KachelY 29191 -1.79140194 1.22406628 -102.639771 70.133832
    Oben rechts KachelX + 1 28167 KachelY 29191 -1.79135400 1.22406628 -102.637024 70.133832
    Unten links KachelX 28166 KachelY + 1 29192 -1.79140194 1.22404999 -102.639771 70.132898
    Unten rechts KachelX + 1 28167 KachelY + 1 29192 -1.79135400 1.22404999 -102.637024 70.132898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22406628-1.22404999) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22406628-1.22404999) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79140194--1.79135400) × cos(1.22406628) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.339824274884489 × 6371000     		do = 103.791080626971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79140194--1.79135400) × cos(1.22404999) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.33983959540437 × 6371000     		du = 103.795759908093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22406628)-sin(1.22404999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339824274884489-0.33983959540437)×R²
    abs(-1.79135400--1.79140194)×1.5320519881401e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5320519881401e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5320519881401e-05×40589641000000     		ar = 10772.0537739846m²