Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28163 / 43585
↖ ↑ ↗
← S 50.961887°
W 25.296021°		 ← 384.74 m → S 50.961887°
W 25.290527°		 →
↑
384.68 m
↓
↑
384.68 m
↓
S 50.965346°
W 25.296021°		 ← 384.71 m →
147 995 m²		 S 50.965346°
W 25.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429740905761719 y=0.665061950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429740905761719 × 216)
    floor (0.429740905761719 × 65536)
    floor (28163.5)     		tx = 28163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665061950683594 × 216)
    floor (0.665061950683594 × 65536)
    floor (43585.5)     		ty = 43585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28163 / 43585 ti = "16/28163/43585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28163/43585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28163 ÷ 216
    28163 ÷ 65536     		x = 0.429733276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43585 ÷ 216
    43585 ÷ 65536     		y = 0.665054321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429733276367188 × 2 - 1) × π
    -0.140533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44149885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665054321289062 × 2 - 1) × π
    -0.330108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03706688638029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44149885} λ = -0.44149885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03706688638029))-π/2
    2×atan(0.354492926600784)-π/2
    2×0.340671805859937-π/2
    0.681343611719874-1.57079632675     		φ = -0.88945272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44149885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.296021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88945272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.961887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28163 KachelY 43585 -0.44149885 -0.88945272 -25.296021 -50.961887
    Oben rechts KachelX + 1 28164 KachelY 43585 -0.44140297 -0.88945272 -25.290527 -50.961887
    Unten links KachelX 28163 KachelY + 1 43586 -0.44149885 -0.88951310 -25.296021 -50.965346
    Unten rechts KachelX + 1 28164 KachelY + 1 43586 -0.44140297 -0.88951310 -25.290527 -50.965346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88945272--0.88951310) × R
    6.0379999999971e-05 × 6371000     		dl = 384.680979999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88945272--0.88951310) × R
    6.0379999999971e-05 × 6371000     		dr = 384.680979999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44149885--0.44140297) × cos(-0.88945272) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629837208119159 × 6371000     		do = 384.736990738627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44149885--0.44140297) × cos(-0.88951310) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629790308184758 × 6371000     		du = 384.708341844286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88945272)-sin(-0.88951310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629837208119159-0.629790308184758)×R²
    abs(-0.44140297--0.44149885)×4.68999344009902e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68999344009902e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68999344009902e-05×40589641000000     		ar = 147995.492342113m²