Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2816 / 4885
↖ ↑ ↗
← S 32.731841°
W 56.250000°		 ← 4 110.57 m → S 32.731841°
W 56.206054°		 →
↑
4 109.74 m
↓
↑
4 109.74 m
↓
S 32.768800°
W 56.250000°		 ← 4 108.86 m →
16 889 871 m²		 S 32.768800°
W 56.206054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34381103515625 y=0.59637451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34381103515625 × 213)
    floor (0.34381103515625 × 8192)
    floor (2816.5)     		tx = 2816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59637451171875 × 213)
    floor (0.59637451171875 × 8192)
    floor (4885.5)     		ty = 4885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2816 / 4885 ti = "13/2816/4885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2816/4885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2816 ÷ 213
    2816 ÷ 8192     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4885 ÷ 213
    4885 ÷ 8192     		y = 0.5963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.192626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.605155420803589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605155420803589))-π/2
    2×atan(0.545989561908545)-π/2
    2×0.499758966460103-π/2
    0.999517932920207-1.57079632675     		φ = -0.57127839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57127839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.731841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2816 KachelY 4885 -0.98174770 -0.57127839 -56.250000 -32.731841
    Oben rechts KachelX + 1 2817 KachelY 4885 -0.98098071 -0.57127839 -56.206054 -32.731841
    Unten links KachelX 2816 KachelY + 1 4886 -0.98174770 -0.57192346 -56.250000 -32.768800
    Unten rechts KachelX + 1 2817 KachelY + 1 4886 -0.98098071 -0.57192346 -56.206054 -32.768800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57127839--0.57192346) × R
    0.000645070000000025 × 6371000     		dl = 4109.74097000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57127839--0.57192346) × R
    0.000645070000000025 × 6371000     		dr = 4109.74097000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.98098071) × cos(-0.57127839) × R
    0.000766990000000023 × 0.841210427184105 × 6371000     		do = 4110.56910791329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.98098071) × cos(-0.57192346) × R
    0.000766990000000023 × 0.840861457752481 × 6371000     		du = 4108.86387112724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57127839)-sin(-0.57192346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841210427184105-0.840861457752481)×R²
    abs(-0.98098071--0.98174770)×0.000348969431624102×R²
    0.000766990000000023×0.000348969431624102×6371000²
    0.000766990000000023×0.000348969431624102×40589641000000     		ar = 16889870.8177446m²