Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28155 / 8677
↖ ↑ ↗
← N 78.659208°
W 25.339966°		 ← 120.12 m → N 78.659208°
W 25.334473°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
N 78.658128°
W 25.339966°		 ← 120.13 m →
14 434 m²		 N 78.658128°
W 25.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429618835449219 y=0.132408142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429618835449219 × 216)
    floor (0.429618835449219 × 65536)
    floor (28155.5)     		tx = 28155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132408142089844 × 216)
    floor (0.132408142089844 × 65536)
    floor (8677.5)     		ty = 8677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28155 / 8677 ti = "16/28155/8677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28155/8677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28155 ÷ 216
    28155 ÷ 65536     		x = 0.429611206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8677 ÷ 216
    8677 ÷ 65536     		y = 0.132400512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429611206054688 × 2 - 1) × π
    -0.140777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44226584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132400512695312 × 2 - 1) × π
    0.735198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30969569749355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44226584} λ = -0.44226584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30969569749355))-π/2
    2×atan(10.0713594487386)-π/2
    2×1.47182924657036-π/2
    2.94365849314071-1.57079632675     		φ = 1.37286217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44226584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.339966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37286217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.659208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28155 KachelY 8677 -0.44226584 1.37286217 -25.339966 78.659208
    Oben rechts KachelX + 1 28156 KachelY 8677 -0.44216996 1.37286217 -25.334473 78.659208
    Unten links KachelX 28155 KachelY + 1 8678 -0.44226584 1.37284331 -25.339966 78.658128
    Unten rechts KachelX + 1 28156 KachelY + 1 8678 -0.44216996 1.37284331 -25.334473 78.658128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37286217-1.37284331) × R
    1.8860000000176e-05 × 6371000     		dl = 120.157060001121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37286217-1.37284331) × R
    1.8860000000176e-05 × 6371000     		dr = 120.157060001121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44226584--0.44216996) × cos(1.37286217) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196644244423581 × 6371000     		do = 120.120427739686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44226584--0.44216996) × cos(1.37284331) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196662736145332 × 6371000     		du = 120.131723435286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37286217)-sin(1.37284331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196644244423581-0.196662736145332)×R²
    abs(-0.44216996--0.44226584)×1.84917217515568e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84917217515568e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84917217515568e-05×40589641000000     		ar = 14433.9960725538m²