Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2815 / 4886
↖ ↑ ↗
← S 32.768800°
W 56.293945°		 ← 4 108.86 m → S 32.768800°
W 56.250000°		 →
↑
4 108.02 m
↓
↑
4 108.02 m
↓
S 32.805745°
W 56.293945°		 ← 4 107.16 m →
16 875 794 m²		 S 32.805745°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34368896484375 y=0.59649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34368896484375 × 213)
    floor (0.34368896484375 × 8192)
    floor (2815.5)     		tx = 2815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59649658203125 × 213)
    floor (0.59649658203125 × 8192)
    floor (4886.5)     		ty = 4886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2815 / 4886 ti = "13/2815/4886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2815/4886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2815 ÷ 213
    2815 ÷ 8192     		x = 0.3436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4886 ÷ 213
    4886 ÷ 8192     		y = 0.596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.19287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.60592241119751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98251469} λ = -0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60592241119751))-π/2
    2×atan(0.545570953714133)-π/2
    2×0.49943643320958-π/2
    0.998872866419159-1.57079632675     		φ = -0.57192346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57192346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.768800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2815 KachelY 4886 -0.98251469 -0.57192346 -56.293945 -32.768800
    Oben rechts KachelX + 1 2816 KachelY 4886 -0.98174770 -0.57192346 -56.250000 -32.768800
    Unten links KachelX 2815 KachelY + 1 4887 -0.98251469 -0.57256826 -56.293945 -32.805745
    Unten rechts KachelX + 1 2816 KachelY + 1 4887 -0.98174770 -0.57256826 -56.250000 -32.805745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57192346--0.57256826) × R
    0.000644800000000001 × 6371000     		dl = 4108.02080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57192346--0.57256826) × R
    0.000644800000000001 × 6371000     		dr = 4108.02080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98251469--0.98174770) × cos(-0.57192346) × R
    0.000766990000000023 × 0.840861457752481 × 6371000     		do = 4108.86387112724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98251469--0.98174770) × cos(-0.57256826) × R
    0.000766990000000023 × 0.840512284709549 × 6371000     		du = 4107.15763939591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57192346)-sin(-0.57256826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840861457752481-0.840512284709549)×R²
    abs(-0.98174770--0.98251469)×0.000349173042931583×R²
    0.000766990000000023×0.000349173042931583×6371000²
    0.000766990000000023×0.000349173042931583×40589641000000     		ar = 16875794.2139368m²