Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28148 / 14968
↖ ↑ ↗
← N 69.426691°
W 25.378418°		 ← 214.63 m → N 69.426691°
W 25.372925°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
N 69.424760°
W 25.378418°		 ← 214.65 m →
46 071 m²		 N 69.424760°
W 25.372925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429512023925781 y=0.228401184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429512023925781 × 216)
    floor (0.429512023925781 × 65536)
    floor (28148.5)     		tx = 28148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228401184082031 × 216)
    floor (0.228401184082031 × 65536)
    floor (14968.5)     		ty = 14968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28148 / 14968 ti = "16/28148/14968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28148/14968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28148 ÷ 216
    28148 ÷ 65536     		x = 0.42950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14968 ÷ 216
    14968 ÷ 65536     		y = 0.2283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44293695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2283935546875 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.706553626474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44293695} λ = -0.44293695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.706553626474))-π/2
    2×atan(5.50993940856671)-π/2
    2×1.39126033264185-π/2
    2.7825206652837-1.57079632675     		φ = 1.21172434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44293695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21172434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.426691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28148 KachelY 14968 -0.44293695 1.21172434 -25.378418 69.426691
    Oben rechts KachelX + 1 28149 KachelY 14968 -0.44284108 1.21172434 -25.372925 69.426691
    Unten links KachelX 28148 KachelY + 1 14969 -0.44293695 1.21169065 -25.378418 69.424760
    Unten rechts KachelX + 1 28149 KachelY + 1 14969 -0.44284108 1.21169065 -25.372925 69.424760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21172434-1.21169065) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21172434-1.21169065) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44293695--0.44284108) × cos(1.21172434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351405557097993 × 6371000     		do = 214.634216585486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44293695--0.44284108) × cos(1.21169065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351437098262744 × 6371000     		du = 214.653481543168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21172434)-sin(1.21169065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351405557097993-0.351437098262744)×R²
    abs(-0.44284108--0.44293695)×3.15411647506258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15411647506258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15411647506258e-05×40589641000000     		ar = 46070.9389771266m²