Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28147 / 21677
↖ ↑ ↗
← N 51.900223°
W 25.383911°		 ← 376.92 m → N 51.900223°
W 25.378418°		 →
↑
376.91 m
↓
↑
376.91 m
↓
N 51.896834°
W 25.383911°		 ← 376.94 m →
142 068 m²		 N 51.896834°
W 25.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429496765136719 y=0.330772399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429496765136719 × 216)
    floor (0.429496765136719 × 65536)
    floor (28147.5)     		tx = 28147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330772399902344 × 216)
    floor (0.330772399902344 × 65536)
    floor (21677.5)     		ty = 21677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28147 / 21677 ti = "16/28147/21677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28147/21677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28147 ÷ 216
    28147 ÷ 65536     		x = 0.429489135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21677 ÷ 216
    21677 ÷ 65536     		y = 0.330764770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429489135742188 × 2 - 1) × π
    -0.141021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44303283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330764770507812 × 2 - 1) × π
    0.338470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06333630737209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44303283} λ = -0.44303283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06333630737209))-π/2
    2×atan(2.89601689197886)-π/2
    2×1.23831305445312-π/2
    2.47662610890625-1.57079632675     		φ = 0.90582978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44303283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.383911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90582978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.900223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28147 KachelY 21677 -0.44303283 0.90582978 -25.383911 51.900223
    Oben rechts KachelX + 1 28148 KachelY 21677 -0.44293695 0.90582978 -25.378418 51.900223
    Unten links KachelX 28147 KachelY + 1 21678 -0.44303283 0.90577062 -25.383911 51.896834
    Unten rechts KachelX + 1 28148 KachelY + 1 21678 -0.44293695 0.90577062 -25.378418 51.896834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90582978-0.90577062) × R
    5.91600000000581e-05 × 6371000     		dl = 376.90836000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90582978-0.90577062) × R
    5.91600000000581e-05 × 6371000     		dr = 376.90836000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44303283--0.44293695) × cos(0.90582978) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.617032807494199 × 6371000     		do = 376.915403666357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44303283--0.44293695) × cos(0.90577062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.617079361632592 × 6371000     		du = 376.943841330695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90582978)-sin(0.90577062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617032807494199-0.617079361632592)×R²
    abs(-0.44293695--0.44303283)×4.65541383932733e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65541383932733e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65541383932733e-05×40589641000000     		ar = 142067.925893008m²