Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28144 / 8077
↖ ↑ ↗
← N 79.289376°
W 25.400391°		 ← 113.53 m → N 79.289376°
W 25.394897°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 79.288355°
W 25.400391°		 ← 113.54 m →
12 882 m²		 N 79.288355°
W 25.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429450988769531 y=0.123252868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429450988769531 × 216)
    floor (0.429450988769531 × 65536)
    floor (28144.5)     		tx = 28144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123252868652344 × 216)
    floor (0.123252868652344 × 65536)
    floor (8077.5)     		ty = 8077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28144 / 8077 ti = "16/28144/8077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28144/8077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28144 ÷ 216
    28144 ÷ 65536     		x = 0.429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8077 ÷ 216
    8077 ÷ 65536     		y = 0.123245239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.14111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44332045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123245239257812 × 2 - 1) × π
    0.753509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36721997703761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44332045} λ = -0.44332045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36721997703761))-π/2
    2×atan(10.6676945871899)-π/2
    2×1.47732850052598-π/2
    2.95465700105197-1.57079632675     		φ = 1.38386067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44332045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38386067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.289376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28144 KachelY 8077 -0.44332045 1.38386067 -25.400391 79.289376
    Oben rechts KachelX + 1 28145 KachelY 8077 -0.44322457 1.38386067 -25.394897 79.289376
    Unten links KachelX 28144 KachelY + 1 8078 -0.44332045 1.38384286 -25.400391 79.288355
    Unten rechts KachelX + 1 28145 KachelY + 1 8078 -0.44322457 1.38384286 -25.394897 79.288355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38386067-1.38384286) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38386067-1.38384286) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44332045--0.44322457) × cos(1.38386067) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		do = 113.526023680719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44332045--0.44322457) × cos(1.38384286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.185866314661067 × 6371000     		du = 113.53671339285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38386067)-sin(1.38384286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185848814970093-0.185866314661067)×R²
    abs(-0.44322457--0.44332045)×1.74996909744485e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.74996909744485e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.74996909744485e-05×40589641000000     		ar = 12882.1216953482m²