Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28144 / 43505
↖ ↑ ↗
← S 50.684277°
W 25.400391°		 ← 387.03 m → S 50.684277°
W 25.394897°		 →
↑
387.04 m
↓
↑
387.04 m
↓
S 50.687758°
W 25.400391°		 ← 387 m →
149 790 m²		 S 50.687758°
W 25.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429450988769531 y=0.663841247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429450988769531 × 216)
    floor (0.429450988769531 × 65536)
    floor (28144.5)     		tx = 28144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663841247558594 × 216)
    floor (0.663841247558594 × 65536)
    floor (43505.5)     		ty = 43505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28144 / 43505 ti = "16/28144/43505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28144/43505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28144 ÷ 216
    28144 ÷ 65536     		x = 0.429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43505 ÷ 216
    43505 ÷ 65536     		y = 0.663833618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.14111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44332045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663833618164062 × 2 - 1) × π
    -0.327667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02939698244109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44332045} λ = -0.44332045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02939698244109))-π/2
    2×atan(0.357222306957326)-π/2
    2×0.343094400926337-π/2
    0.686188801852674-1.57079632675     		φ = -0.88460752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44332045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88460752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.684277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28144 KachelY 43505 -0.44332045 -0.88460752 -25.400391 -50.684277
    Oben rechts KachelX + 1 28145 KachelY 43505 -0.44322457 -0.88460752 -25.394897 -50.684277
    Unten links KachelX 28144 KachelY + 1 43506 -0.44332045 -0.88466827 -25.400391 -50.687758
    Unten rechts KachelX + 1 28145 KachelY + 1 43506 -0.44322457 -0.88466827 -25.394897 -50.687758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88460752--0.88466827) × R
    6.07500000000538e-05 × 6371000     		dl = 387.038250000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88460752--0.88466827) × R
    6.07500000000538e-05 × 6371000     		dr = 387.038250000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44332045--0.44322457) × cos(-0.88460752) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633593198858635 × 6371000     		do = 387.031343240702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44332045--0.44322457) × cos(-0.88466827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633546197457282 × 6371000     		du = 387.002632365123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88460752)-sin(-0.88466827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633593198858635-0.633546197457282)×R²
    abs(-0.44322457--0.44332045)×4.70014013532749e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70014013532749e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70014013532749e-05×40589641000000     		ar = 149790.377725614m²