Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28143 / 8682
↖ ↑ ↗
← N 78.653806°
W 25.405884°		 ← 120.16 m → N 78.653806°
W 25.400391°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
N 78.652725°
W 25.405884°		 ← 120.18 m →
14 439 m²		 N 78.652725°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429435729980469 y=0.132484436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429435729980469 × 216)
    floor (0.429435729980469 × 65536)
    floor (28143.5)     		tx = 28143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132484436035156 × 216)
    floor (0.132484436035156 × 65536)
    floor (8682.5)     		ty = 8682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28143 / 8682 ti = "16/28143/8682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28143/8682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28143 ÷ 216
    28143 ÷ 65536     		x = 0.429428100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8682 ÷ 216
    8682 ÷ 65536     		y = 0.132476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429428100585938 × 2 - 1) × π
    -0.141143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44341632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132476806640625 × 2 - 1) × π
    0.73504638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30921632849735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44341632} λ = -0.44341632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30921632849735))-π/2
    2×atan(10.0665327082566)-π/2
    2×1.47178210291443-π/2
    2.94356420582886-1.57079632675     		φ = 1.37276788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44341632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37276788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.653806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28143 KachelY 8682 -0.44341632 1.37276788 -25.405884 78.653806
    Oben rechts KachelX + 1 28144 KachelY 8682 -0.44332045 1.37276788 -25.400391 78.653806
    Unten links KachelX 28143 KachelY + 1 8683 -0.44341632 1.37274902 -25.405884 78.652725
    Unten rechts KachelX + 1 28144 KachelY + 1 8683 -0.44332045 1.37274902 -25.400391 78.652725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37276788-1.37274902) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37276788-1.37274902) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44341632--0.44332045) × cos(1.37276788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19673669252818 × 6371000     		do = 120.16436570646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44341632--0.44332045) × cos(1.37274902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196755183900138 × 6371000     		du = 120.175660010303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37276788)-sin(1.37274902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19673669252818-0.196755183900138)×R²
    abs(-0.44332045--0.44341632)×1.84913719583901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84913719583901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84913719583901e-05×40589641000000     		ar = 14439.2754454266m²