Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28142 / 8685
↖ ↑ ↗
← N 78.650563°
W 25.411377°		 ← 120.21 m → N 78.650563°
W 25.405884°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
N 78.649482°
W 25.411377°		 ← 120.22 m →
14 453 m²		 N 78.649482°
W 25.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429420471191406 y=0.132530212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429420471191406 × 216)
    floor (0.429420471191406 × 65536)
    floor (28142.5)     		tx = 28142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132530212402344 × 216)
    floor (0.132530212402344 × 65536)
    floor (8685.5)     		ty = 8685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28142 / 8685 ti = "16/28142/8685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28142/8685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28142 ÷ 216
    28142 ÷ 65536     		x = 0.429412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8685 ÷ 216
    8685 ÷ 65536     		y = 0.132522583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.14117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44351220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132522583007812 × 2 - 1) × π
    0.734954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30892870709962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44351220} λ = -0.44351220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30892870709962))-π/2
    2×atan(10.0636377743913)-π/2
    2×1.4717538060834-π/2
    2.94350761216679-1.57079632675     		φ = 1.37271129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44351220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37271129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.650563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28142 KachelY 8685 -0.44351220 1.37271129 -25.411377 78.650563
    Oben rechts KachelX + 1 28143 KachelY 8685 -0.44341632 1.37271129 -25.405884 78.650563
    Unten links KachelX 28142 KachelY + 1 8686 -0.44351220 1.37269242 -25.411377 78.649482
    Unten rechts KachelX + 1 28143 KachelY + 1 8686 -0.44341632 1.37269242 -25.405884 78.649482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37271129-1.37269242) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dl = 120.220770000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37271129-1.37269242) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dr = 120.220770000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44351220--0.44341632) × cos(1.37271129) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196792176238544 × 6371000     		do = 120.210792107796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44351220--0.44341632) × cos(1.37269242) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196810677204903 × 6371000     		du = 120.222093450478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37271129)-sin(1.37269242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196792176238544-0.196810677204903)×R²
    abs(-0.44341632--0.44351220)×1.85009663595803e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.85009663595803e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.85009663595803e-05×40589641000000     		ar = 14452.513318189m²