Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28142 / 21650
↖ ↑ ↗
← N 51.991646°
W 25.411377°		 ← 376.15 m → N 51.991646°
W 25.405884°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
N 51.988263°
W 25.411377°		 ← 376.18 m →
141 491 m²		 N 51.988263°
W 25.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429420471191406 y=0.330360412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429420471191406 × 216)
    floor (0.429420471191406 × 65536)
    floor (28142.5)     		tx = 28142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330360412597656 × 216)
    floor (0.330360412597656 × 65536)
    floor (21650.5)     		ty = 21650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28142 / 21650 ti = "16/28142/21650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28142/21650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28142 ÷ 216
    28142 ÷ 65536     		x = 0.429412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21650 ÷ 216
    21650 ÷ 65536     		y = 0.330352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.14117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44351220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330352783203125 × 2 - 1) × π
    0.33929443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06592489995157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44351220} λ = -0.44351220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06592489995157))-π/2
    2×atan(2.90352321102485)-π/2
    2×1.23911086451578-π/2
    2.47822172903157-1.57079632675     		φ = 0.90742540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44351220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90742540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.991646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28142 KachelY 21650 -0.44351220 0.90742540 -25.411377 51.991646
    Oben rechts KachelX + 1 28143 KachelY 21650 -0.44341632 0.90742540 -25.405884 51.991646
    Unten links KachelX 28142 KachelY + 1 21651 -0.44351220 0.90736636 -25.411377 51.988263
    Unten rechts KachelX + 1 28143 KachelY + 1 21651 -0.44341632 0.90736636 -25.405884 51.988263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90742540-0.90736636) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dl = 376.143840000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90742540-0.90736636) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dr = 376.143840000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44351220--0.44341632) × cos(0.90742540) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.615776369445696 × 6371000     		do = 376.147906625119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44351220--0.44341632) × cos(0.90736636) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.61582288722682 × 6371000     		du = 376.176322080565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90742540)-sin(0.90736636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615776369445696-0.61582288722682)×R²
    abs(-0.44341632--0.44351220)×4.6517781124078e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6517781124078e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6517781124078e-05×40589641000000     		ar = 141491.062196277m²