Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28141 / 43485
↖ ↑ ↗
← S 50.614617°
W 25.416870°		 ← 387.57 m → S 50.614617°
W 25.411377°		 →
↑
387.61 m
↓
↑
387.61 m
↓
S 50.618103°
W 25.416870°		 ← 387.54 m →
150 219 m²		 S 50.618103°
W 25.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429405212402344 y=0.663536071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429405212402344 × 216)
    floor (0.429405212402344 × 65536)
    floor (28141.5)     		tx = 28141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663536071777344 × 216)
    floor (0.663536071777344 × 65536)
    floor (43485.5)     		ty = 43485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28141 / 43485 ti = "16/28141/43485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28141/43485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28141 ÷ 216
    28141 ÷ 65536     		x = 0.429397583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43485 ÷ 216
    43485 ÷ 65536     		y = 0.663528442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429397583007812 × 2 - 1) × π
    -0.141204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44360807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663528442382812 × 2 - 1) × π
    -0.327056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02747950645628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44360807} λ = -0.44360807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02747950645628))-π/2
    2×atan(0.357907929274246)-π/2
    2×0.343702301439223-π/2
    0.687404602878447-1.57079632675     		φ = -0.88339172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44360807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88339172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.614617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28141 KachelY 43485 -0.44360807 -0.88339172 -25.416870 -50.614617
    Oben rechts KachelX + 1 28142 KachelY 43485 -0.44351220 -0.88339172 -25.411377 -50.614617
    Unten links KachelX 28141 KachelY + 1 43486 -0.44360807 -0.88345256 -25.416870 -50.618103
    Unten rechts KachelX + 1 28142 KachelY + 1 43486 -0.44351220 -0.88345256 -25.411377 -50.618103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88339172--0.88345256) × R
    6.0840000000062e-05 × 6371000     		dl = 387.611640000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88339172--0.88345256) × R
    6.0840000000062e-05 × 6371000     		dr = 387.611640000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44360807--0.44351220) × cos(-0.88339172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634533353925433 × 6371000     		do = 387.565212234727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44360807--0.44351220) × cos(-0.88345256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634486329790104 × 6371000     		du = 387.536490467974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88339172)-sin(-0.88345256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634533353925433-0.634486329790104)×R²
    abs(-0.44351220--0.44360807)×4.70241353287548e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70241353287548e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70241353287548e-05×40589641000000     		ar = 150219.221122274m²