Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28140 / 43483
↖ ↑ ↗
← S 50.607645°
W 25.422363°		 ← 387.62 m → S 50.607645°
W 25.416870°		 →
↑
387.68 m
↓
↑
387.68 m
↓
S 50.611132°
W 25.422363°		 ← 387.59 m →
150 266 m²		 S 50.611132°
W 25.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429389953613281 y=0.663505554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429389953613281 × 216)
    floor (0.429389953613281 × 65536)
    floor (28140.5)     		tx = 28140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663505554199219 × 216)
    floor (0.663505554199219 × 65536)
    floor (43483.5)     		ty = 43483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28140 / 43483 ti = "16/28140/43483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28140/43483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28140 ÷ 216
    28140 ÷ 65536     		x = 0.42938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43483 ÷ 216
    43483 ÷ 65536     		y = 0.663497924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663497924804688 × 2 - 1) × π
    -0.326995849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0272877588578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44370394} λ = -0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0272877588578))-π/2
    2×atan(0.357976563840208)-π/2
    2×0.3437631410703-π/2
    0.6875262821406-1.57079632675     		φ = -0.88327004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88327004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.607645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28140 KachelY 43483 -0.44370394 -0.88327004 -25.422363 -50.607645
    Oben rechts KachelX + 1 28141 KachelY 43483 -0.44360807 -0.88327004 -25.416870 -50.607645
    Unten links KachelX 28140 KachelY + 1 43484 -0.44370394 -0.88333089 -25.422363 -50.611132
    Unten rechts KachelX + 1 28141 KachelY + 1 43484 -0.44360807 -0.88333089 -25.416870 -50.611132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88327004--0.88333089) × R
    6.08500000000012e-05 × 6371000     		dl = 387.675350000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88327004--0.88333089) × R
    6.08500000000012e-05 × 6371000     		dr = 387.675350000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44370394--0.44360807) × cos(-0.88327004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63462739514973 × 6371000     		do = 387.622651464404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44370394--0.44360807) × cos(-0.88333089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634580367983464 × 6371000     		du = 387.593927846391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88327004)-sin(-0.88333089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63462739514973-0.634580367983464)×R²
    abs(-0.44360807--0.44370394)×4.70271662660338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70271662660338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70271662660338e-05×40589641000000     		ar = 150266.179401336m²