Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2814 / 4888
↖ ↑ ↗
← S 32.842674°
W 56.337891°		 ← 4 105.50 m → S 32.842674°
W 56.293945°		 →
↑
4 104.58 m
↓
↑
4 104.58 m
↓
S 32.879587°
W 56.337891°		 ← 4 103.80 m →
16 847 866 m²		 S 32.879587°
W 56.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34356689453125 y=0.59674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34356689453125 × 213)
    floor (0.34356689453125 × 8192)
    floor (2814.5)     		tx = 2814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59674072265625 × 213)
    floor (0.59674072265625 × 8192)
    floor (4888.5)     		ty = 4888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2814 / 4888 ti = "13/2814/4888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2814/4888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2814 ÷ 213
    2814 ÷ 8192     		x = 0.343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4888 ÷ 213
    4888 ÷ 8192     		y = 0.5966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5966796875 × 2 - 1) × π
    -0.193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.607456391985352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98328169} λ = -0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607456391985352))-π/2
    2×atan(0.544734699915344)-π/2
    2×0.498791768386978-π/2
    0.997583536773957-1.57079632675     		φ = -0.57321279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57321279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.842674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2814 KachelY 4888 -0.98328169 -0.57321279 -56.337891 -32.842674
    Oben rechts KachelX + 1 2815 KachelY 4888 -0.98251469 -0.57321279 -56.293945 -32.842674
    Unten links KachelX 2814 KachelY + 1 4889 -0.98328169 -0.57385705 -56.337891 -32.879587
    Unten rechts KachelX + 1 2815 KachelY + 1 4889 -0.98251469 -0.57385705 -56.293945 -32.879587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57321279--0.57385705) × R
    0.000644259999999952 × 6371000     		dl = 4104.58045999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57321279--0.57385705) × R
    0.000644259999999952 × 6371000     		dr = 4104.58045999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98328169--0.98251469) × cos(-0.57321279) × R
    0.000766999999999962 × 0.840162908639566 × 6371000     		do = 4105.50394235283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98328169--0.98251469) × cos(-0.57385705) × R
    0.000766999999999962 × 0.839813330126381 × 6371000     		du = 4103.79570702218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57321279)-sin(-0.57385705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840162908639566-0.839813330126381)×R²
    abs(-0.98251469--0.98328169)×0.00034957851318429×R²
    0.000766999999999962×0.00034957851318429×6371000²
    0.000766999999999962×0.00034957851318429×40589641000000     		ar = 16847866.0483084m²