Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28139 / 14762
↖ ↑ ↗
← N 69.820681°
W 25.427857°		 ← 210.72 m → N 69.820681°
W 25.422363°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
N 69.818786°
W 25.427857°		 ← 210.74 m →
44 398 m²		 N 69.818786°
W 25.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429374694824219 y=0.225257873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429374694824219 × 216)
    floor (0.429374694824219 × 65536)
    floor (28139.5)     		tx = 28139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225257873535156 × 216)
    floor (0.225257873535156 × 65536)
    floor (14762.5)     		ty = 14762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28139 / 14762 ti = "16/28139/14762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28139/14762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28139 ÷ 216
    28139 ÷ 65536     		x = 0.429367065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14762 ÷ 216
    14762 ÷ 65536     		y = 0.225250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429367065429688 × 2 - 1) × π
    -0.141265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44379982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225250244140625 × 2 - 1) × π
    0.54949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72630362911746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44379982} λ = -0.44379982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72630362911746))-π/2
    2×atan(5.61984244669916)-π/2
    2×1.39469855052851-π/2
    2.78939710105702-1.57079632675     		φ = 1.21860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44379982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.427857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.820681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28139 KachelY 14762 -0.44379982 1.21860077 -25.427857 69.820681
    Oben rechts KachelX + 1 28140 KachelY 14762 -0.44370394 1.21860077 -25.422363 69.820681
    Unten links KachelX 28139 KachelY + 1 14763 -0.44379982 1.21856770 -25.427857 69.818786
    Unten rechts KachelX + 1 28140 KachelY + 1 14763 -0.44370394 1.21856770 -25.422363 69.818786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21860077-1.21856770) × R
    3.30700000001904e-05 × 6371000     		dl = 210.688970001213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21860077-1.21856770) × R
    3.30700000001904e-05 × 6371000     		dr = 210.688970001213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44379982--0.44370394) × cos(1.21860077) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344959425477188 × 6371000     		do = 210.718975592674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44379982--0.44370394) × cos(1.21856770) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344990465372511 × 6371000     		du = 210.737936358671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21860077)-sin(1.21856770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344959425477188-0.344990465372511)×R²
    abs(-0.44370394--0.44379982)×3.1039895323437e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1039895323437e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1039895323437e-05×40589641000000     		ar = 44398.1613435042m²