Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28138 / 21691
↖ ↑ ↗
← N 51.852746°
W 25.433350°		 ← 377.27 m → N 51.852746°
W 25.427857°		 →
↑
377.29 m
↓
↑
377.29 m
↓
N 51.849353°
W 25.433350°		 ← 377.30 m →
142 347 m²		 N 51.849353°
W 25.427857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429359436035156 y=0.330986022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429359436035156 × 216)
    floor (0.429359436035156 × 65536)
    floor (28138.5)     		tx = 28138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330986022949219 × 216)
    floor (0.330986022949219 × 65536)
    floor (21691.5)     		ty = 21691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28138 / 21691 ti = "16/28138/21691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28138/21691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28138 ÷ 216
    28138 ÷ 65536     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21691 ÷ 216
    21691 ÷ 65536     		y = 0.330978393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330978393554688 × 2 - 1) × π
    0.338043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06199407418272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06199407418272))-π/2
    2×atan(2.89213236954015)-π/2
    2×1.23789873477025-π/2
    2.4757974695405-1.57079632675     		φ = 0.90500114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90500114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.852746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28138 KachelY 21691 -0.44389569 0.90500114 -25.433350 51.852746
    Oben rechts KachelX + 1 28139 KachelY 21691 -0.44379982 0.90500114 -25.427857 51.852746
    Unten links KachelX 28138 KachelY + 1 21692 -0.44389569 0.90494192 -25.433350 51.849353
    Unten rechts KachelX + 1 28139 KachelY + 1 21692 -0.44379982 0.90494192 -25.427857 51.849353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90500114-0.90494192) × R
    5.92200000000265e-05 × 6371000     		dl = 377.290620000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90500114-0.90494192) × R
    5.92200000000265e-05 × 6371000     		dr = 377.290620000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44379982) × cos(0.90500114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617684683408324 × 6371000     		do = 377.274250342118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44379982) × cos(0.90494192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61773125446456 × 6371000     		du = 377.302695373703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90500114)-sin(0.90494192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617684683408324-0.61773125446456)×R²
    abs(-0.44379982--0.44389569)×4.65710562368438e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65710562368438e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65710562368438e-05×40589641000000     		ar = 142347.40188519m²