Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28138 / 21689
↖ ↑ ↗
← N 51.859531°
W 25.433350°		 ← 377.22 m → N 51.859531°
W 25.427857°		 →
↑
377.23 m
↓
↑
377.23 m
↓
N 51.856139°
W 25.433350°		 ← 377.25 m →
142 302 m²		 N 51.856139°
W 25.427857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429359436035156 y=0.330955505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429359436035156 × 216)
    floor (0.429359436035156 × 65536)
    floor (28138.5)     		tx = 28138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330955505371094 × 216)
    floor (0.330955505371094 × 65536)
    floor (21689.5)     		ty = 21689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28138 / 21689 ti = "16/28138/21689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28138/21689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28138 ÷ 216
    28138 ÷ 65536     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21689 ÷ 216
    21689 ÷ 65536     		y = 0.330947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330947875976562 × 2 - 1) × π
    0.338104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0621858217812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0621858217812))-π/2
    2×atan(2.89268698214762)-π/2
    2×1.23795795008243-π/2
    2.47591590016486-1.57079632675     		φ = 0.90511957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90511957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.859531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28138 KachelY 21689 -0.44389569 0.90511957 -25.433350 51.859531
    Oben rechts KachelX + 1 28139 KachelY 21689 -0.44379982 0.90511957 -25.427857 51.859531
    Unten links KachelX 28138 KachelY + 1 21690 -0.44389569 0.90506036 -25.433350 51.856139
    Unten rechts KachelX + 1 28139 KachelY + 1 21690 -0.44379982 0.90506036 -25.427857 51.856139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90511957-0.90506036) × R
    5.92099999999762e-05 × 6371000     		dl = 377.226909999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90511957-0.90506036) × R
    5.92099999999762e-05 × 6371000     		dr = 377.226909999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44379982) × cos(0.90511957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617591542662327 × 6371000     		do = 377.217361113574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44379982) × cos(0.90506036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617638110185861 × 6371000     		du = 377.245803987428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90511957)-sin(0.90506036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617591542662327-0.617638110185861)×R²
    abs(-0.44379982--0.44389569)×4.65675235341578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65675235341578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65675235341578e-05×40589641000000     		ar = 142301.904281556m²