Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28138 / 14761
↖ ↑ ↗
← N 69.822576°
W 25.433350°		 ← 210.68 m → N 69.822576°
W 25.427857°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
N 69.820681°
W 25.433350°		 ← 210.70 m →
44 403 m²		 N 69.820681°
W 25.427857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429359436035156 y=0.225242614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429359436035156 × 216)
    floor (0.429359436035156 × 65536)
    floor (28138.5)     		tx = 28138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225242614746094 × 216)
    floor (0.225242614746094 × 65536)
    floor (14761.5)     		ty = 14761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28138 / 14761 ti = "16/28138/14761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28138/14761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28138 ÷ 216
    28138 ÷ 65536     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14761 ÷ 216
    14761 ÷ 65536     		y = 0.225234985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225234985351562 × 2 - 1) × π
    0.549530029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7263995029167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7263995029167))-π/2
    2×atan(5.62038126817468)-π/2
    2×1.39471508606965-π/2
    2.7894301721393-1.57079632675     		φ = 1.21863385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21863385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.822576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28138 KachelY 14761 -0.44389569 1.21863385 -25.433350 69.822576
    Oben rechts KachelX + 1 28139 KachelY 14761 -0.44379982 1.21863385 -25.427857 69.822576
    Unten links KachelX 28138 KachelY + 1 14762 -0.44389569 1.21860077 -25.433350 69.820681
    Unten rechts KachelX + 1 28139 KachelY + 1 14762 -0.44379982 1.21860077 -25.427857 69.820681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21863385-1.21860077) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dl = 210.752679999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21863385-1.21860077) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dr = 210.752679999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44379982) × cos(1.21863385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344928375818318 × 6371000     		do = 210.678033475788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44379982) × cos(1.21860077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344959425477188 × 6371000     		du = 210.696998227688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21863385)-sin(1.21860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344928375818318-0.344959425477188)×R²
    abs(-0.44379982--0.44389569)×3.10496588694642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10496588694642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10496588694642e-05×40589641000000     		ar = 44402.9586124568m²