Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28137 / 43491
↖ ↑ ↗
← S 50.635526°
W 25.438843°		 ← 387.39 m → S 50.635526°
W 25.433350°		 →
↑
387.42 m
↓
↑
387.42 m
↓
S 50.639010°
W 25.438843°		 ← 387.36 m →
150 078 m²		 S 50.639010°
W 25.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429344177246094 y=0.663627624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429344177246094 × 216)
    floor (0.429344177246094 × 65536)
    floor (28137.5)     		tx = 28137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663627624511719 × 216)
    floor (0.663627624511719 × 65536)
    floor (43491.5)     		ty = 43491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28137 / 43491 ti = "16/28137/43491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28137/43491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28137 ÷ 216
    28137 ÷ 65536     		x = 0.429336547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43491 ÷ 216
    43491 ÷ 65536     		y = 0.663619995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429336547851562 × 2 - 1) × π
    -0.141326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44399156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663619995117188 × 2 - 1) × π
    -0.327239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02805474925172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44399156} λ = -0.44399156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02805474925172))-π/2
    2×atan(0.357702104521779)-π/2
    2×0.343519836639153-π/2
    0.687039673278307-1.57079632675     		φ = -0.88375665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44399156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.438843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88375665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.635526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28137 KachelY 43491 -0.44399156 -0.88375665 -25.438843 -50.635526
    Oben rechts KachelX + 1 28138 KachelY 43491 -0.44389569 -0.88375665 -25.433350 -50.635526
    Unten links KachelX 28137 KachelY + 1 43492 -0.44399156 -0.88381746 -25.438843 -50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 28138 KachelY + 1 43492 -0.44389569 -0.88381746 -25.433350 -50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88375665--0.88381746) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dl = 387.420510000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88375665--0.88381746) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dr = 387.420510000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44399156--0.44389569) × cos(-0.88375665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634251258932593 × 6371000     		do = 387.392912063123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44399156--0.44389569) × cos(-0.88381746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 387.364195860948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88375665)-sin(-0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634251258932593-0.634204243907759)×R²
    abs(-0.44389569--0.44399156)×4.70150248342849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70150248342849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70150248342849e-05×40589641000000     		ar = 150078.396985298m²