Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28136 / 8247
↖ ↑ ↗
← N 79.114427°
W 25.444336°		 ← 115.36 m → N 79.114427°
W 25.438843°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
N 79.113389°
W 25.444336°		 ← 115.37 m →
13 311 m²		 N 79.113389°
W 25.438843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429328918457031 y=0.125846862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429328918457031 × 216)
    floor (0.429328918457031 × 65536)
    floor (28136.5)     		tx = 28136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125846862792969 × 216)
    floor (0.125846862792969 × 65536)
    floor (8247.5)     		ty = 8247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28136 / 8247 ti = "16/28136/8247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28136/8247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28136 ÷ 216
    28136 ÷ 65536     		x = 0.4293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8247 ÷ 216
    8247 ÷ 65536     		y = 0.125839233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125839233398438 × 2 - 1) × π
    0.748321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35092143116679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44408744} λ = -0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35092143116679))-π/2
    2×atan(10.495235908151)-π/2
    2×1.47580177789072-π/2
    2.95160355578144-1.57079632675     		φ = 1.38080723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38080723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.114427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28136 KachelY 8247 -0.44408744 1.38080723 -25.444336 79.114427
    Oben rechts KachelX + 1 28137 KachelY 8247 -0.44399156 1.38080723 -25.438843 79.114427
    Unten links KachelX 28136 KachelY + 1 8248 -0.44408744 1.38078912 -25.444336 79.113389
    Unten rechts KachelX + 1 28137 KachelY + 1 8248 -0.44399156 1.38078912 -25.438843 79.113389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38080723-1.38078912) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38080723-1.38078912) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44408744--0.44399156) × cos(1.38080723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.188848187971687 × 6371000     		do = 115.358195117814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44408744--0.44399156) × cos(1.38078912) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.188865972074706 × 6371000     		du = 115.369058563464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38080723)-sin(1.38078912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188848187971687-0.188865972074706)×R²
    abs(-0.44399156--0.44408744)×1.77841030190862e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.77841030190862e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.77841030190862e-05×40589641000000     		ar = 13310.5179828384m²