Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28133 / 43494
↖ ↑ ↗
← S 50.645977°
W 25.460815°		 ← 387.31 m → S 50.645977°
W 25.455323°		 →
↑
387.29 m
↓
↑
387.29 m
↓
S 50.649460°
W 25.460815°		 ← 387.28 m →
149 996 m²		 S 50.649460°
W 25.455323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429283142089844 y=0.663673400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429283142089844 × 216)
    floor (0.429283142089844 × 65536)
    floor (28133.5)     		tx = 28133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663673400878906 × 216)
    floor (0.663673400878906 × 65536)
    floor (43494.5)     		ty = 43494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28133 / 43494 ti = "16/28133/43494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28133/43494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28133 ÷ 216
    28133 ÷ 65536     		x = 0.429275512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43494 ÷ 216
    43494 ÷ 65536     		y = 0.663665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429275512695312 × 2 - 1) × π
    -0.141448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44437506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.32733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02834237064944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44437506} λ = -0.44437506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02834237064944))-π/2
    2×atan(0.357599236536735)-π/2
    2×0.34342863466382-π/2
    0.68685726932764-1.57079632675     		φ = -0.88393906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44437506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.460815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88393906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.645977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28133 KachelY 43494 -0.44437506 -0.88393906 -25.460815 -50.645977
    Oben rechts KachelX + 1 28134 KachelY 43494 -0.44427919 -0.88393906 -25.455323 -50.645977
    Unten links KachelX 28133 KachelY + 1 43495 -0.44437506 -0.88399985 -25.460815 -50.649460
    Unten rechts KachelX + 1 28134 KachelY + 1 43495 -0.44427919 -0.88399985 -25.455323 -50.649460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88393906--0.88399985) × R
    6.07900000000328e-05 × 6371000     		dl = 387.293090000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88393906--0.88399985) × R
    6.07900000000328e-05 × 6371000     		dr = 387.293090000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44437506--0.44427919) × cos(-0.88393906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63411022228753 × 6371000     		do = 387.306768605196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44437506--0.44427919) × cos(-0.88399985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634063215694025 × 6371000     		du = 387.278057552774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88393906)-sin(-0.88399985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63411022228753-0.634063215694025)×R²
    abs(-0.44427919--0.44437506)×4.70065935053166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70065935053166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70065935053166e-05×40589641000000     		ar = 149995.67544112m²