Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28132 / 8142
↖ ↑ ↗
← N 79.222814°
W 25.466308°		 ← 114.21 m → N 79.222814°
W 25.460815°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 79.221787°
W 25.466308°		 ← 114.22 m →
13 047 m²		 N 79.221787°
W 25.460815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429267883300781 y=0.124244689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429267883300781 × 216)
    floor (0.429267883300781 × 65536)
    floor (28132.5)     		tx = 28132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124244689941406 × 216)
    floor (0.124244689941406 × 65536)
    floor (8142.5)     		ty = 8142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28132 / 8142 ti = "16/28132/8142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28132/8142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28132 ÷ 216
    28132 ÷ 65536     		x = 0.42926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8142 ÷ 216
    8142 ÷ 65536     		y = 0.124237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.1414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44447093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124237060546875 × 2 - 1) × π
    0.75152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36098818008701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44447093} λ = -0.44447093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36098818008701))-π/2
    2×atan(10.6014223924967)-π/2
    2×1.47674763806791-π/2
    2.95349527613582-1.57079632675     		φ = 1.38269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44447093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.222814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28132 KachelY 8142 -0.44447093 1.38269895 -25.466308 79.222814
    Oben rechts KachelX + 1 28133 KachelY 8142 -0.44437506 1.38269895 -25.460815 79.222814
    Unten links KachelX 28132 KachelY + 1 8143 -0.44447093 1.38268102 -25.466308 79.221787
    Unten rechts KachelX + 1 28133 KachelY + 1 8143 -0.44437506 1.38268102 -25.460815 79.221787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38269895-1.38268102) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38269895-1.38268102) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44447093--0.44437506) × cos(1.38269895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186990170226365 × 6371000     		do = 114.21130908448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44447093--0.44437506) × cos(1.38268102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187007783943109 × 6371000     		du = 114.222067327251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38269895)-sin(1.38268102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186990170226365-0.187007783943109)×R²
    abs(-0.44437506--0.44447093)×1.76137167433588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76137167433588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76137167433588e-05×40589641000000     		ar = 13047.2041543515m²