Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28130 / 8143
↖ ↑ ↗
← N 79.221787°
W 25.477295°		 ← 114.22 m → N 79.221787°
W 25.471802°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 79.220760°
W 25.477295°		 ← 114.23 m →
13 048 m²		 N 79.220760°
W 25.471802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429237365722656 y=0.124259948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429237365722656 × 216)
    floor (0.429237365722656 × 65536)
    floor (28130.5)     		tx = 28130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124259948730469 × 216)
    floor (0.124259948730469 × 65536)
    floor (8143.5)     		ty = 8143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28130 / 8143 ti = "16/28130/8143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28130/8143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28130 ÷ 216
    28130 ÷ 65536     		x = 0.429229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8143 ÷ 216
    8143 ÷ 65536     		y = 0.124252319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429229736328125 × 2 - 1) × π
    -0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124252319335938 × 2 - 1) × π
    0.751495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36089230628777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44466268} λ = -0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36089230628777))-π/2
    2×atan(10.600406042576)-π/2
    2×1.47673867391673-π/2
    2.95347734783347-1.57079632675     		φ = 1.38268102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38268102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.221787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28130 KachelY 8143 -0.44466268 1.38268102 -25.477295 79.221787
    Oben rechts KachelX + 1 28131 KachelY 8143 -0.44456681 1.38268102 -25.471802 79.221787
    Unten links KachelX 28130 KachelY + 1 8144 -0.44466268 1.38266309 -25.477295 79.220760
    Unten rechts KachelX + 1 28131 KachelY + 1 8144 -0.44456681 1.38266309 -25.471802 79.220760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38268102-1.38266309) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dl = 114.232029998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38268102-1.38266309) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dr = 114.232029998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44466268--0.44456681) × cos(1.38268102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187007783943109 × 6371000     		do = 114.222067327251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44466268--0.44456681) × cos(1.38266309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187025397599732 × 6371000     		du = 114.232825533301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38268102)-sin(1.38266309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187007783943109-0.187025397599732)×R²
    abs(-0.44456681--0.44466268)×1.76136566229501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76136566229501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76136566229501e-05×40589641000000     		ar = 13048.4330876289m²