Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28130 / 21666
↖ ↑ ↗
← N 51.937492°
W 25.477295°		 ← 376.56 m → N 51.937492°
W 25.471802°		 →
↑
376.59 m
↓
↑
376.59 m
↓
N 51.934105°
W 25.477295°		 ← 376.59 m →
141 815 m²		 N 51.934105°
W 25.471802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429237365722656 y=0.330604553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429237365722656 × 216)
    floor (0.429237365722656 × 65536)
    floor (28130.5)     		tx = 28130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330604553222656 × 216)
    floor (0.330604553222656 × 65536)
    floor (21666.5)     		ty = 21666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28130 / 21666 ti = "16/28130/21666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28130/21666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28130 ÷ 216
    28130 ÷ 65536     		x = 0.429229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21666 ÷ 216
    21666 ÷ 65536     		y = 0.330596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429229736328125 × 2 - 1) × π
    -0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330596923828125 × 2 - 1) × π
    0.33880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06439091916373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44466268} λ = -0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06439091916373))-π/2
    2×atan(2.89907267659195)-π/2
    2×1.23863828449154-π/2
    2.47727656898308-1.57079632675     		φ = 0.90648024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90648024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.937492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28130 KachelY 21666 -0.44466268 0.90648024 -25.477295 51.937492
    Oben rechts KachelX + 1 28131 KachelY 21666 -0.44456681 0.90648024 -25.471802 51.937492
    Unten links KachelX 28130 KachelY + 1 21667 -0.44466268 0.90642113 -25.477295 51.934105
    Unten rechts KachelX + 1 28131 KachelY + 1 21667 -0.44456681 0.90642113 -25.471802 51.934105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90648024-0.90642113) × R
    5.91100000000289e-05 × 6371000     		dl = 376.589810000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90648024-0.90642113) × R
    5.91100000000289e-05 × 6371000     		dr = 376.589810000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44466268--0.44456681) × cos(0.90648024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616520805678602 × 6371000     		do = 376.563368059029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44466268--0.44456681) × cos(0.90642113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616567344187105 × 6371000     		du = 376.591793210856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90648024)-sin(0.90642113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616520805678602-0.616567344187105)×R²
    abs(-0.44456681--0.44466268)×4.65385085022252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65385085022252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65385085022252e-05×40589641000000     		ar = 141815.279582914m²