Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2813 / 4889
↖ ↑ ↗
← S 32.879587°
W 56.381836°		 ← 4 103.74 m → S 32.879587°
W 56.337891°		 →
↑
4 102.92 m
↓
↑
4 102.92 m
↓
S 32.916485°
W 56.381836°		 ← 4 102.03 m →
16 833 837 m²		 S 32.916485°
W 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34344482421875 y=0.59686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34344482421875 × 213)
    floor (0.34344482421875 × 8192)
    floor (2813.5)     		tx = 2813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59686279296875 × 213)
    floor (0.59686279296875 × 8192)
    floor (4889.5)     		ty = 4889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2813 / 4889 ti = "13/2813/4889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2813/4889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2813 ÷ 213
    2813 ÷ 8192     		x = 0.3433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4889 ÷ 213
    4889 ÷ 8192     		y = 0.5968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98404868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.193603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.608223382379272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98404868} λ = -0.98404868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608223382379272))-π/2
    2×atan(0.54431705381902)-π/2
    2×0.498469636971497-π/2
    0.996939273942995-1.57079632675     		φ = -0.57385705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98404868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57385705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.879587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2813 KachelY 4889 -0.98404868 -0.57385705 -56.381836 -32.879587
    Oben rechts KachelX + 1 2814 KachelY 4889 -0.98328169 -0.57385705 -56.337891 -32.879587
    Unten links KachelX 2813 KachelY + 1 4890 -0.98404868 -0.57450105 -56.381836 -32.916485
    Unten rechts KachelX + 1 2814 KachelY + 1 4890 -0.98328169 -0.57450105 -56.337891 -32.916485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57385705--0.57450105) × R
    0.000643999999999978 × 6371000     		dl = 4102.92399999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57385705--0.57450105) × R
    0.000643999999999978 × 6371000     		dr = 4102.92399999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98404868--0.98328169) × cos(-0.57385705) × R
    0.000766990000000023 × 0.839813330126381 × 6371000     		do = 4103.74220251524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98404868--0.98328169) × cos(-0.57450105) × R
    0.000766990000000023 × 0.839463544319285 × 6371000     		du = 4102.03297651593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57385705)-sin(-0.57450105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839813330126381-0.839463544319285)×R²
    abs(-0.98328169--0.98404868)×0.000349785807096437×R²
    0.000766990000000023×0.000349785807096437×6371000²
    0.000766990000000023×0.000349785807096437×40589641000000     		ar = 16833836.5421245m²