Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2813 / 4884
↖ ↑ ↗
← S 32.694866°
W 56.381836°		 ← 4 112.27 m → S 32.694866°
W 56.337891°		 →
↑
4 111.40 m
↓
↑
4 111.40 m
↓
S 32.731841°
W 56.381836°		 ← 4 110.57 m →
16 903 687 m²		 S 32.731841°
W 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34344482421875 y=0.59625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34344482421875 × 213)
    floor (0.34344482421875 × 8192)
    floor (2813.5)     		tx = 2813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59625244140625 × 213)
    floor (0.59625244140625 × 8192)
    floor (4884.5)     		ty = 4884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2813 / 4884 ti = "13/2813/4884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2813/4884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2813 ÷ 213
    2813 ÷ 8192     		x = 0.3433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4884 ÷ 213
    4884 ÷ 8192     		y = 0.59619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98404868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98404868} λ = -0.98404868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604388430409668))-π/2
    2×atan(0.54640849129458)-π/2
    2×0.500081633498619-π/2
    1.00016326699724-1.57079632675     		φ = -0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98404868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2813 KachelY 4884 -0.98404868 -0.57063306 -56.381836 -32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 2814 KachelY 4884 -0.98328169 -0.57063306 -56.337891 -32.694866
    Unten links KachelX 2813 KachelY + 1 4885 -0.98404868 -0.57127839 -56.381836 -32.731841
    Unten rechts KachelX + 1 2814 KachelY + 1 4885 -0.98328169 -0.57127839 -56.337891 -32.731841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57063306--0.57127839) × R
    0.00064533 × 6371000     		dl = 4111.39743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57063306--0.57127839) × R
    0.00064533 × 6371000     		dr = 4111.39743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98404868--0.98328169) × cos(-0.57063306) × R
    0.000766990000000023 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 4112.27332050199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98404868--0.98328169) × cos(-0.57127839) × R
    0.000766990000000023 × 0.841210427184105 × 6371000     		du = 4110.56910791329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57063306)-sin(-0.57127839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.841210427184105)×R²
    abs(-0.98328169--0.98404868)×0.00034875983400906×R²
    0.000766990000000023×0.00034875983400906×6371000²
    0.000766990000000023×0.00034875983400906×40589641000000     		ar = 16903687.2003712m²