Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28128 / 21663
↖ ↑ ↗
← N 51.947651°
W 25.488281°		 ← 376.52 m → N 51.947651°
W 25.482788°		 →
↑
376.53 m
↓
↑
376.53 m
↓
N 51.944265°
W 25.488281°		 ← 376.55 m →
141 774 m²		 N 51.944265°
W 25.482788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429206848144531 y=0.330558776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429206848144531 × 216)
    floor (0.429206848144531 × 65536)
    floor (28128.5)     		tx = 28128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330558776855469 × 216)
    floor (0.330558776855469 × 65536)
    floor (21663.5)     		ty = 21663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28128 / 21663 ti = "16/28128/21663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28128/21663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28128 ÷ 216
    28128 ÷ 65536     		x = 0.42919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21663 ÷ 216
    21663 ÷ 65536     		y = 0.330551147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330551147460938 × 2 - 1) × π
    0.338897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06467854056145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44485443} λ = -0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06467854056145))-π/2
    2×atan(2.89990663185322)-π/2
    2×1.23872693674048-π/2
    2.47745387348097-1.57079632675     		φ = 0.90665755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90665755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.947651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28128 KachelY 21663 -0.44485443 0.90665755 -25.488281 51.947651
    Oben rechts KachelX + 1 28129 KachelY 21663 -0.44475855 0.90665755 -25.482788 51.947651
    Unten links KachelX 28128 KachelY + 1 21664 -0.44485443 0.90659845 -25.488281 51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 28129 KachelY + 1 21664 -0.44475855 0.90659845 -25.482788 51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90665755-0.90659845) × R
    5.91000000000896e-05 × 6371000     		dl = 376.526100000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90665755-0.90659845) × R
    5.91000000000896e-05 × 6371000     		dr = 376.526100000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44485443--0.44475855) × cos(0.90665755) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.616381192977992 × 6371000     		do = 376.517363974961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44485443--0.44475855) × cos(0.90659845) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 376.545791228639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90665755)-sin(0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616381192977992-0.616427730073519)×R²
    abs(-0.44475855--0.44485443)×4.65370955273769e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65370955273769e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65370955273769e-05×40589641000000     		ar = 141773.966482904m²