Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28126 / 43476
↖ ↑ ↗
← S 50.583237°
W 25.499268°		 ← 387.86 m → S 50.583237°
W 25.493774°		 →
↑
387.80 m
↓
↑
387.80 m
↓
S 50.586724°
W 25.499268°		 ← 387.84 m →
150 409 m²		 S 50.586724°
W 25.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429176330566406 y=0.663398742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429176330566406 × 216)
    floor (0.429176330566406 × 65536)
    floor (28126.5)     		tx = 28126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663398742675781 × 216)
    floor (0.663398742675781 × 65536)
    floor (43476.5)     		ty = 43476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28126 / 43476 ti = "16/28126/43476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28126/43476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28126 ÷ 216
    28126 ÷ 65536     		x = 0.429168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43476 ÷ 216
    43476 ÷ 65536     		y = 0.66339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.14166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44504618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.3267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02661664226312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44504618} λ = -0.44504618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02661664226312))-π/2
    2×atan(0.358216888486617)-π/2
    2×0.343976150784907-π/2
    0.687952301569815-1.57079632675     		φ = -0.88284403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44504618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88284403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.583237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28126 KachelY 43476 -0.44504618 -0.88284403 -25.499268 -50.583237
    Oben rechts KachelX + 1 28127 KachelY 43476 -0.44495030 -0.88284403 -25.493774 -50.583237
    Unten links KachelX 28126 KachelY + 1 43477 -0.44504618 -0.88290490 -25.499268 -50.586724
    Unten rechts KachelX + 1 28127 KachelY + 1 43477 -0.44495030 -0.88290490 -25.493774 -50.586724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88284403--0.88290490) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dl = 387.80276999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88284403--0.88290490) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dr = 387.80276999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44504618--0.44495030) × cos(-0.88284403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634956565860937 × 6371000     		do = 387.864157991841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44504618--0.44495030) × cos(-0.88290490) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		du = 387.835431990527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88284403)-sin(-0.88290490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634956565860937-0.63490953969786)×R²
    abs(-0.44495030--0.44504618)×4.70261630771684e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70261630771684e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70261630771684e-05×40589641000000     		ar = 150409.224887947m²