Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28123 / 21721
↖ ↑ ↗
← N 51.750840°
W 25.515747°		 ← 378.17 m → N 51.750840°
W 25.510254°		 →
↑
378.18 m
↓
↑
378.18 m
↓
N 51.747438°
W 25.515747°		 ← 378.20 m →
143 022 m²		 N 51.747438°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429130554199219 y=0.331443786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429130554199219 × 216)
    floor (0.429130554199219 × 65536)
    floor (28123.5)     		tx = 28123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331443786621094 × 216)
    floor (0.331443786621094 × 65536)
    floor (21721.5)     		ty = 21721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28123 / 21721 ti = "16/28123/21721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28123/21721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28123 ÷ 216
    28123 ÷ 65536     		x = 0.429122924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21721 ÷ 216
    21721 ÷ 65536     		y = 0.331436157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429122924804688 × 2 - 1) × π
    -0.141754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44533380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331436157226562 × 2 - 1) × π
    0.337127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05911786020552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44533380} λ = -0.44533380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05911786020552))-π/2
    2×atan(2.88382592927109)-π/2
    2×1.2370094331921-π/2
    2.4740188663842-1.57079632675     		φ = 0.90322254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44533380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.515747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90322254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.750840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28123 KachelY 21721 -0.44533380 0.90322254 -25.515747 51.750840
    Oben rechts KachelX + 1 28124 KachelY 21721 -0.44523792 0.90322254 -25.510254 51.750840
    Unten links KachelX 28123 KachelY + 1 21722 -0.44533380 0.90316318 -25.515747 51.747438
    Unten rechts KachelX + 1 28124 KachelY + 1 21722 -0.44523792 0.90316318 -25.510254 51.747438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90322254-0.90316318) × R
    5.93600000000638e-05 × 6371000     		dl = 378.182560000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90322254-0.90316318) × R
    5.93600000000638e-05 × 6371000     		dr = 378.182560000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44533380--0.44523792) × cos(0.90322254) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619082442706725 × 6371000     		do = 378.167426369389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44533380--0.44523792) × cos(0.90316318) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619129058567464 × 6371000     		du = 378.195901736913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90322254)-sin(0.90316318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619082442706725-0.619129058567464)×R²
    abs(-0.44523792--0.44533380)×4.6615860738175e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6615860738175e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6615860738175e-05×40589641000000     		ar = 143021.709899031m²