Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28122 / 8241
↖ ↑ ↗
← N 79.120649°
W 25.521240°		 ← 115.28 m → N 79.120649°
W 25.515747°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 79.119612°
W 25.521240°		 ← 115.29 m →
13 287 m²		 N 79.119612°
W 25.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429115295410156 y=0.125755310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429115295410156 × 216)
    floor (0.429115295410156 × 65536)
    floor (28122.5)     		tx = 28122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125755310058594 × 216)
    floor (0.125755310058594 × 65536)
    floor (8241.5)     		ty = 8241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28122 / 8241 ti = "16/28122/8241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28122/8241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28122 ÷ 216
    28122 ÷ 65536     		x = 0.429107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8241 ÷ 216
    8241 ÷ 65536     		y = 0.125747680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125747680664062 × 2 - 1) × π
    0.748504638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35149667396223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44542967} λ = -0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35149667396223))-π/2
    2×atan(10.5012749537858)-π/2
    2×1.47585607933201-π/2
    2.95171215866402-1.57079632675     		φ = 1.38091583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38091583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.120649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28122 KachelY 8241 -0.44542967 1.38091583 -25.521240 79.120649
    Oben rechts KachelX + 1 28123 KachelY 8241 -0.44533380 1.38091583 -25.515747 79.120649
    Unten links KachelX 28122 KachelY + 1 8242 -0.44542967 1.38089774 -25.521240 79.119612
    Unten rechts KachelX + 1 28123 KachelY + 1 8242 -0.44533380 1.38089774 -25.515747 79.119612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38091583-1.38089774) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38091583-1.38089774) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44542967--0.44533380) × cos(1.38091583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18874154097471 × 6371000     		do = 115.281024918304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44542967--0.44533380) × cos(1.38089774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18875930580859 × 6371000     		du = 115.291875461574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38091583)-sin(1.38089774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18874154097471-0.18875930580859)×R²
    abs(-0.44533380--0.44542967)×1.77648338803849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77648338803849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77648338803849e-05×40589641000000     		ar = 13286.923632618m²