Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28122 / 21717
↖ ↑ ↗
← N 51.764440°
W 25.521240°		 ← 378.01 m → N 51.764440°
W 25.515747°		 →
↑
378.06 m
↓
↑
378.06 m
↓
N 51.761040°
W 25.521240°		 ← 378.04 m →
142 916 m²		 N 51.761040°
W 25.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429115295410156 y=0.331382751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429115295410156 × 216)
    floor (0.429115295410156 × 65536)
    floor (28122.5)     		tx = 28122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331382751464844 × 216)
    floor (0.331382751464844 × 65536)
    floor (21717.5)     		ty = 21717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28122 / 21717 ti = "16/28122/21717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28122/21717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28122 ÷ 216
    28122 ÷ 65536     		x = 0.429107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21717 ÷ 216
    21717 ÷ 65536     		y = 0.331375122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331375122070312 × 2 - 1) × π
    0.337249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05950135540248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44542967} λ = -0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05950135540248))-π/2
    2×atan(2.88493207475101)-π/2
    2×1.23712812288898-π/2
    2.47425624577797-1.57079632675     		φ = 0.90345992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90345992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.764440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28122 KachelY 21717 -0.44542967 0.90345992 -25.521240 51.764440
    Oben rechts KachelX + 1 28123 KachelY 21717 -0.44533380 0.90345992 -25.515747 51.764440
    Unten links KachelX 28122 KachelY + 1 21718 -0.44542967 0.90340058 -25.521240 51.761040
    Unten rechts KachelX + 1 28123 KachelY + 1 21718 -0.44533380 0.90340058 -25.515747 51.761040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90345992-0.90340058) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dl = 378.055139999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90345992-0.90340058) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dr = 378.055139999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44542967--0.44533380) × cos(0.90345992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618896004579744 × 6371000     		do = 378.014110499164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44542967--0.44533380) × cos(0.90340058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618942613454188 × 6371000     		du = 378.042578629647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90345992)-sin(0.90340058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618896004579744-0.618942613454188)×R²
    abs(-0.44533380--0.44542967)×4.66088744434101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66088744434101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66088744434101e-05×40589641000000     		ar = 142915.558770319m²