Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28121 / 43474
↖ ↑ ↗
← S 50.576260°
W 25.526734°		 ← 387.92 m → S 50.576260°
W 25.521240°		 →
↑
387.93 m
↓
↑
387.93 m
↓
S 50.579749°
W 25.526734°		 ← 387.89 m →
150 481 m²		 S 50.579749°
W 25.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429100036621094 y=0.663368225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429100036621094 × 216)
    floor (0.429100036621094 × 65536)
    floor (28121.5)     		tx = 28121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663368225097656 × 216)
    floor (0.663368225097656 × 65536)
    floor (43474.5)     		ty = 43474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28121 / 43474 ti = "16/28121/43474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28121/43474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28121 ÷ 216
    28121 ÷ 65536     		x = 0.429092407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43474 ÷ 216
    43474 ÷ 65536     		y = 0.663360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429092407226562 × 2 - 1) × π
    -0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44552555} λ = -0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02642489466464))-π/2
    2×atan(0.358285582300446)-π/2
    2×0.344037030992541-π/2
    0.688074061985082-1.57079632675     		φ = -0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28121 KachelY 43474 -0.44552555 -0.88272226 -25.526734 -50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 28122 KachelY 43474 -0.44542967 -0.88272226 -25.521240 -50.576260
    Unten links KachelX 28121 KachelY + 1 43475 -0.44552555 -0.88278315 -25.526734 -50.579749
    Unten rechts KachelX + 1 28122 KachelY + 1 43475 -0.44542967 -0.88278315 -25.521240 -50.579749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88272226--0.88278315) × R
    6.08899999999801e-05 × 6371000     		dl = 387.930189999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88272226--0.88278315) × R
    6.08899999999801e-05 × 6371000     		dr = 387.930189999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44552555--0.44542967) × cos(-0.88272226) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 387.921619839014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44552555--0.44542967) × cos(-0.88278315) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		du = 387.892887274942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88272226)-sin(-0.88278315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.635003597396493)×R²
    abs(-0.44542967--0.44552555)×4.70369066994936e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70369066994936e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70369066994936e-05×40589641000000     		ar = 150480.934621445m²