Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28121 / 21718
↖ ↑ ↗
← N 51.761040°
W 25.526734°		 ← 378.08 m → N 51.761040°
W 25.521240°		 →
↑
378.06 m
↓
↑
378.06 m
↓
N 51.757641°
W 25.526734°		 ← 378.11 m →
142 941 m²		 N 51.757641°
W 25.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429100036621094 y=0.331398010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429100036621094 × 216)
    floor (0.429100036621094 × 65536)
    floor (28121.5)     		tx = 28121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331398010253906 × 216)
    floor (0.331398010253906 × 65536)
    floor (21718.5)     		ty = 21718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28121 / 21718 ti = "16/28121/21718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28121/21718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28121 ÷ 216
    28121 ÷ 65536     		x = 0.429092407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21718 ÷ 216
    21718 ÷ 65536     		y = 0.331390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429092407226562 × 2 - 1) × π
    -0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331390380859375 × 2 - 1) × π
    0.33721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05940548160324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44552555} λ = -0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05940548160324))-π/2
    2×atan(2.88465549861087)-π/2
    2×1.2370984538162-π/2
    2.47419690763239-1.57079632675     		φ = 0.90340058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90340058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.761040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28121 KachelY 21718 -0.44552555 0.90340058 -25.526734 51.761040
    Oben rechts KachelX + 1 28122 KachelY 21718 -0.44542967 0.90340058 -25.521240 51.761040
    Unten links KachelX 28121 KachelY + 1 21719 -0.44552555 0.90334124 -25.526734 51.757641
    Unten rechts KachelX + 1 28122 KachelY + 1 21719 -0.44542967 0.90334124 -25.521240 51.757641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90340058-0.90334124) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dl = 378.055139999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90340058-0.90334124) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dr = 378.055139999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44552555--0.44542967) × cos(0.90340058) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618942613454188 × 6371000     		do = 378.08201146353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44552555--0.44542967) × cos(0.90334124) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618989220149189 × 6371000     		du = 378.110481232149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90340058)-sin(0.90334124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618942613454188-0.618989220149189)×R²
    abs(-0.44542967--0.44552555)×4.66066950006727e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66066950006727e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66066950006727e-05×40589641000000     		ar = 142941.229388337m²