Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28121 / 14759
↖ ↑ ↗
← N 69.826365°
W 25.526734°		 ← 210.66 m → N 69.826365°
W 25.521240°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
N 69.824471°
W 25.526734°		 ← 210.68 m →
44 386 m²		 N 69.824471°
W 25.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429100036621094 y=0.225212097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429100036621094 × 216)
    floor (0.429100036621094 × 65536)
    floor (28121.5)     		tx = 28121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225212097167969 × 216)
    floor (0.225212097167969 × 65536)
    floor (14759.5)     		ty = 14759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28121 / 14759 ti = "16/28121/14759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28121/14759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28121 ÷ 216
    28121 ÷ 65536     		x = 0.429092407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14759 ÷ 216
    14759 ÷ 65536     		y = 0.225204467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429092407226562 × 2 - 1) × π
    -0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225204467773438 × 2 - 1) × π
    0.549591064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72659125051518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44552555} λ = -0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72659125051518))-π/2
    2×atan(5.62145906611468)-π/2
    2×1.39474815268815-π/2
    2.78949630537629-1.57079632675     		φ = 1.21869998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21869998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.826365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28121 KachelY 14759 -0.44552555 1.21869998 -25.526734 69.826365
    Oben rechts KachelX + 1 28122 KachelY 14759 -0.44542967 1.21869998 -25.521240 69.826365
    Unten links KachelX 28121 KachelY + 1 14760 -0.44552555 1.21866691 -25.526734 69.824471
    Unten rechts KachelX + 1 28122 KachelY + 1 14760 -0.44542967 1.21866691 -25.521240 69.824471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21869998-1.21866691) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21869998-1.21866691) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44552555--0.44542967) × cos(1.21869998) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344866303527817 × 6371000     		do = 210.66209191208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44552555--0.44542967) × cos(1.21866691) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344897344554807 × 6371000     		du = 210.681053369357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21869998)-sin(1.21866691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344866303527817-0.344897344554807)×R²
    abs(-0.44542967--0.44552555)×3.10410269900308e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10410269900308e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10410269900308e-05×40589641000000     		ar = 44386.1766521063m²