Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28120 / 21729
↖ ↑ ↗
← N 51.723626°
W 25.532227°		 ← 378.36 m → N 51.723626°
W 25.526734°		 →
↑
378.44 m
↓
↑
378.44 m
↓
N 51.720222°
W 25.532227°		 ← 378.38 m →
143 189 m²		 N 51.720222°
W 25.526734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429084777832031 y=0.331565856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429084777832031 × 216)
    floor (0.429084777832031 × 65536)
    floor (28120.5)     		tx = 28120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331565856933594 × 216)
    floor (0.331565856933594 × 65536)
    floor (21729.5)     		ty = 21729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28120 / 21729 ti = "16/28120/21729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28120/21729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28120 ÷ 216
    28120 ÷ 65536     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21729 ÷ 216
    21729 ÷ 65536     		y = 0.331558227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331558227539062 × 2 - 1) × π
    0.336883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0583508698116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0583508698116))-π/2
    2×atan(2.88161491050906)-π/2
    2×1.23677194654122-π/2
    2.47354389308244-1.57079632675     		φ = 0.90274757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90274757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.723626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28120 KachelY 21729 -0.44562142 0.90274757 -25.532227 51.723626
    Oben rechts KachelX + 1 28121 KachelY 21729 -0.44552555 0.90274757 -25.526734 51.723626
    Unten links KachelX 28120 KachelY + 1 21730 -0.44562142 0.90268817 -25.532227 51.720222
    Unten rechts KachelX + 1 28121 KachelY + 1 21730 -0.44552555 0.90268817 -25.526734 51.720222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90274757-0.90268817) × R
    5.94000000000428e-05 × 6371000     		dl = 378.437400000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90274757-0.90268817) × R
    5.94000000000428e-05 × 6371000     		dr = 378.437400000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44552555) × cos(0.90274757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619455379152369 × 6371000     		do = 378.355769646972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44552555) × cos(0.90268817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61950200895245 × 6371000     		du = 378.384250558579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90274757)-sin(0.90268817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619455379152369-0.61950200895245)×R²
    abs(-0.44552555--0.44562142)×4.66298000807441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66298000807441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66298000807441e-05×40589641000000     		ar = 143189.36290362m²