Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2812 / 4890
↖ ↑ ↗
← S 32.916485°
W 56.425781°		 ← 4 102.03 m → S 32.916485°
W 56.381836°		 →
↑
4 101.14 m
↓
↑
4 101.14 m
↓
S 32.953368°
W 56.425781°		 ← 4 100.32 m →
16 819 506 m²		 S 32.953368°
W 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34332275390625 y=0.59698486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34332275390625 × 213)
    floor (0.34332275390625 × 8192)
    floor (2812.5)     		tx = 2812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59698486328125 × 213)
    floor (0.59698486328125 × 8192)
    floor (4890.5)     		ty = 4890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2812 / 4890 ti = "13/2812/4890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2812/4890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2812 ÷ 213
    2812 ÷ 8192     		x = 0.34326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4890 ÷ 213
    4890 ÷ 8192     		y = 0.596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.608990372773193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98481567} λ = -0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608990372773193))-π/2
    2×atan(0.543899727930426)-π/2
    2×0.498147639657202-π/2
    0.996295279314403-1.57079632675     		φ = -0.57450105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57450105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.916485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2812 KachelY 4890 -0.98481567 -0.57450105 -56.425781 -32.916485
    Oben rechts KachelX + 1 2813 KachelY 4890 -0.98404868 -0.57450105 -56.381836 -32.916485
    Unten links KachelX 2812 KachelY + 1 4891 -0.98481567 -0.57514477 -56.425781 -32.953368
    Unten rechts KachelX + 1 2813 KachelY + 1 4891 -0.98404868 -0.57514477 -56.381836 -32.953368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57450105--0.57514477) × R
    0.000643720000000014 × 6371000     		dl = 4101.14012000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57450105--0.57514477) × R
    0.000643720000000014 × 6371000     		dr = 4101.14012000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98481567--0.98404868) × cos(-0.57450105) × R
    0.000766990000000023 × 0.839463544319285 × 6371000     		do = 4102.03297651593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98481567--0.98404868) × cos(-0.57514477) × R
    0.000766990000000023 × 0.839113562664238 × 6371000     		du = 4100.32279350691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57450105)-sin(-0.57514477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839463544319285-0.839113562664238)×R²
    abs(-0.98404868--0.98481567)×0.000349981655047071×R²
    0.000766990000000023×0.000349981655047071×6371000²
    0.000766990000000023×0.000349981655047071×40589641000000     		ar = 16819505.7442758m²