Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2812 / 4876
↖ ↑ ↗
← S 32.398516°
W 56.425781°		 ← 4 125.87 m → S 32.398516°
W 56.381836°		 →
↑
4 125.03 m
↓
↑
4 125.03 m
↓
S 32.435613°
W 56.425781°		 ← 4 124.17 m →
17 015 848 m²		 S 32.435613°
W 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34332275390625 y=0.59527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34332275390625 × 213)
    floor (0.34332275390625 × 8192)
    floor (2812.5)     		tx = 2812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59527587890625 × 213)
    floor (0.59527587890625 × 8192)
    floor (4876.5)     		ty = 4876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2812 / 4876 ti = "13/2812/4876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2812/4876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2812 ÷ 213
    2812 ÷ 8192     		x = 0.34326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4876 ÷ 213
    4876 ÷ 8192     		y = 0.59521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98481567} λ = -0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598252507258301))-π/2
    2×atan(0.549771518894505)-π/2
    2×0.502667776648375-π/2
    1.00533555329675-1.57079632675     		φ = -0.56546077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56546077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.398516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2812 KachelY 4876 -0.98481567 -0.56546077 -56.425781 -32.398516
    Oben rechts KachelX + 1 2813 KachelY 4876 -0.98404868 -0.56546077 -56.381836 -32.398516
    Unten links KachelX 2812 KachelY + 1 4877 -0.98481567 -0.56610824 -56.425781 -32.435613
    Unten rechts KachelX + 1 2813 KachelY + 1 4877 -0.98404868 -0.56610824 -56.381836 -32.435613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56546077--0.56610824) × R
    0.000647470000000094 × 6371000     		dl = 4125.0313700006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56546077--0.56610824) × R
    0.000647470000000094 × 6371000     		dr = 4125.0313700006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98481567--0.98404868) × cos(-0.56546077) × R
    0.000766990000000023 × 0.844341807229663 × 6371000     		do = 4125.87057549435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98481567--0.98404868) × cos(-0.56610824) × R
    0.000766990000000023 × 0.843994712660805 × 6371000     		du = 4124.17450021263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56546077)-sin(-0.56610824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844341807229663-0.843994712660805)×R²
    abs(-0.98404868--0.98481567)×0.000347094568858064×R²
    0.000766990000000023×0.000347094568858064×6371000²
    0.000766990000000023×0.000347094568858064×40589641000000     		ar = 17015847.9650489m²