Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28118 / 43475
↖ ↑ ↗
← S 50.579749°
W 25.543213°		 ← 387.89 m → S 50.579749°
W 25.537720°		 →
↑
387.87 m
↓
↑
387.87 m
↓
S 50.583237°
W 25.543213°		 ← 387.86 m →
150 445 m²		 S 50.583237°
W 25.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429054260253906 y=0.663383483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429054260253906 × 216)
    floor (0.429054260253906 × 65536)
    floor (28118.5)     		tx = 28118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663383483886719 × 216)
    floor (0.663383483886719 × 65536)
    floor (43475.5)     		ty = 43475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28118 / 43475 ti = "16/28118/43475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28118/43475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28118 ÷ 216
    28118 ÷ 65536     		x = 0.429046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43475 ÷ 216
    43475 ÷ 65536     		y = 0.663375854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.14190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44581317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.326751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02652076846388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44581317} λ = -0.44581317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02652076846388))-π/2
    2×atan(0.358251233747047)-π/2
    2×0.344006589761476-π/2
    0.688013179522951-1.57079632675     		φ = -0.88278315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44581317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88278315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.579749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28118 KachelY 43475 -0.44581317 -0.88278315 -25.543213 -50.579749
    Oben rechts KachelX + 1 28119 KachelY 43475 -0.44571729 -0.88278315 -25.537720 -50.579749
    Unten links KachelX 28118 KachelY + 1 43476 -0.44581317 -0.88284403 -25.543213 -50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 28119 KachelY + 1 43476 -0.44571729 -0.88284403 -25.537720 -50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88278315--0.88284403) × R
    6.08800000000409e-05 × 6371000     		dl = 387.866480000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88278315--0.88284403) × R
    6.08800000000409e-05 × 6371000     		dr = 387.866480000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44581317--0.44571729) × cos(-0.88278315) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		do = 387.892887274942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44581317--0.44571729) × cos(-0.88284403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 387.864157991841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88278315)-sin(-0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635003597396493-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.44571729--0.44581317)×4.70315355554085e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70315355554085e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70315355554085e-05×40589641000000     		ar = 150445.077288012m²