Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28117 / 8661
↖ ↑ ↗
← N 78.676478°
W 25.548706°		 ← 119.93 m → N 78.676478°
W 25.543213°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
N 78.675399°
W 25.548706°		 ← 119.94 m →
14 388 m²		 N 78.675399°
W 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429039001464844 y=0.132164001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429039001464844 × 216)
    floor (0.429039001464844 × 65536)
    floor (28117.5)     		tx = 28117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132164001464844 × 216)
    floor (0.132164001464844 × 65536)
    floor (8661.5)     		ty = 8661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28117 / 8661 ti = "16/28117/8661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28117/8661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28117 ÷ 216
    28117 ÷ 65536     		x = 0.429031372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8661 ÷ 216
    8661 ÷ 65536     		y = 0.132156372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132156372070312 × 2 - 1) × π
    0.735687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31122967828139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44590904} λ = -0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31122967828139))-π/2
    2×atan(10.0868205761448)-π/2
    2×1.47197995745208-π/2
    2.94395991490417-1.57079632675     		φ = 1.37316359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37316359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.676478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28117 KachelY 8661 -0.44590904 1.37316359 -25.548706 78.676478
    Oben rechts KachelX + 1 28118 KachelY 8661 -0.44581317 1.37316359 -25.543213 78.676478
    Unten links KachelX 28117 KachelY + 1 8662 -0.44590904 1.37314476 -25.548706 78.675399
    Unten rechts KachelX + 1 28118 KachelY + 1 8662 -0.44581317 1.37314476 -25.543213 78.675399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37316359-1.37314476) × R
    1.88300000001362e-05 × 6371000     		dl = 119.965930000868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37316359-1.37314476) × R
    1.88300000001362e-05 × 6371000     		dr = 119.965930000868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44590904--0.44581317) × cos(1.37316359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196348700748954 × 6371000     		do = 119.927385072849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44590904--0.44581317) × cos(1.37314476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196367164171885 × 6371000     		du = 119.938662305767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37316359)-sin(1.37314476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196348700748954-0.196367164171885)×R²
    abs(-0.44581317--0.44590904)×1.84634229305203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84634229305203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84634229305203e-05×40589641000000     		ar = 14387.876725212m²