Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28117 / 21651
↖ ↑ ↗
← N 51.988263°
W 25.548706°		 ← 376.14 m → N 51.988263°
W 25.543213°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
N 51.984880°
W 25.548706°		 ← 376.17 m →
141 487 m²		 N 51.984880°
W 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429039001464844 y=0.330375671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429039001464844 × 216)
    floor (0.429039001464844 × 65536)
    floor (28117.5)     		tx = 28117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330375671386719 × 216)
    floor (0.330375671386719 × 65536)
    floor (21651.5)     		ty = 21651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28117 / 21651 ti = "16/28117/21651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28117/21651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28117 ÷ 216
    28117 ÷ 65536     		x = 0.429031372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21651 ÷ 216
    21651 ÷ 65536     		y = 0.330368041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330368041992188 × 2 - 1) × π
    0.339263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06582902615233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44590904} λ = -0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06582902615233))-π/2
    2×atan(2.90324485256728)-π/2
    2×1.23908134499092-π/2
    2.47816268998185-1.57079632675     		φ = 0.90736636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90736636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.988263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28117 KachelY 21651 -0.44590904 0.90736636 -25.548706 51.988263
    Oben rechts KachelX + 1 28118 KachelY 21651 -0.44581317 0.90736636 -25.543213 51.988263
    Unten links KachelX 28117 KachelY + 1 21652 -0.44590904 0.90730732 -25.548706 51.984880
    Unten rechts KachelX + 1 28118 KachelY + 1 21652 -0.44581317 0.90730732 -25.543213 51.984880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90736636-0.90730732) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dl = 376.143840000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90736636-0.90730732) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dr = 376.143840000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44590904--0.44581317) × cos(0.90736636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61582288722682 × 6371000     		do = 376.137088004223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44590904--0.44581317) × cos(0.90730732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615869402861357 × 6371000     		du = 376.165499184912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90736636)-sin(0.90730732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61582288722682-0.615869402861357)×R²
    abs(-0.44581317--0.44590904)×4.65156345368367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65156345368367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65156345368367e-05×40589641000000     		ar = 141486.992034478m²