Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28115 / 21653
↖ ↑ ↗
← N 51.981497°
W 25.559693°		 ← 376.23 m → N 51.981497°
W 25.554199°		 →
↑
376.21 m
↓
↑
376.21 m
↓
N 51.978114°
W 25.559693°		 ← 376.26 m →
141 547 m²		 N 51.978114°
W 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429008483886719 y=0.330406188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429008483886719 × 216)
    floor (0.429008483886719 × 65536)
    floor (28115.5)     		tx = 28115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330406188964844 × 216)
    floor (0.330406188964844 × 65536)
    floor (21653.5)     		ty = 21653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28115 / 21653 ti = "16/28115/21653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28115/21653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28115 ÷ 216
    28115 ÷ 65536     		x = 0.429000854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21653 ÷ 216
    21653 ÷ 65536     		y = 0.330398559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429000854492188 × 2 - 1) × π
    -0.141998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44610079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330398559570312 × 2 - 1) × π
    0.339202880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06563727855385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44610079} λ = -0.44610079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06563727855385))-π/2
    2×atan(2.90268821570759)-π/2
    2×1.23902229925139-π/2
    2.47804459850278-1.57079632675     		φ = 0.90724827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44610079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.559693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90724827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.981497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28115 KachelY 21653 -0.44610079 0.90724827 -25.559693 51.981497
    Oben rechts KachelX + 1 28116 KachelY 21653 -0.44600491 0.90724827 -25.554199 51.981497
    Unten links KachelX 28115 KachelY + 1 21654 -0.44610079 0.90718922 -25.559693 51.978114
    Unten rechts KachelX + 1 28116 KachelY + 1 21654 -0.44600491 0.90718922 -25.554199 51.978114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90724827-0.90718922) × R
    5.90499999999494e-05 × 6371000     		dl = 376.207549999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90724827-0.90718922) × R
    5.90499999999494e-05 × 6371000     		dr = 376.207549999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44610079--0.44600491) × cos(0.90724827) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.615915924227264 × 6371000     		do = 376.233153869981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44610079--0.44600491) × cos(0.90718922) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.615962443445532 × 6371000     		du = 376.261570203308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90724827)-sin(0.90718922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615915924227264-0.615962443445532)×R²
    abs(-0.44600491--0.44610079)×4.65192182677043e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65192182677043e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65192182677043e-05×40589641000000     		ar = 141547.098306694m²