Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28114 / 7178
↖ ↑ ↗
← N 80.169339°
W 25.565185°		 ← 104.28 m → N 80.169339°
W 25.559693°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
N 80.168401°
W 25.565185°		 ← 104.29 m →
10 877 m²		 N 80.168401°
W 25.559693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428993225097656 y=0.109535217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428993225097656 × 216)
    floor (0.428993225097656 × 65536)
    floor (28114.5)     		tx = 28114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109535217285156 × 216)
    floor (0.109535217285156 × 65536)
    floor (7178.5)     		ty = 7178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28114 / 7178 ti = "16/28114/7178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28114/7178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28114 ÷ 216
    28114 ÷ 65536     		x = 0.428985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7178 ÷ 216
    7178 ÷ 65536     		y = 0.109527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109527587890625 × 2 - 1) × π
    0.78094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45341052255447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44619666} λ = -0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45341052255447))-π/2
    2×atan(11.6279365096403)-π/2
    2×1.48500762637065-π/2
    2.97001525274129-1.57079632675     		φ = 1.39921893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39921893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.169339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28114 KachelY 7178 -0.44619666 1.39921893 -25.565185 80.169339
    Oben rechts KachelX + 1 28115 KachelY 7178 -0.44610079 1.39921893 -25.559693 80.169339
    Unten links KachelX 28114 KachelY + 1 7179 -0.44619666 1.39920256 -25.565185 80.168401
    Unten rechts KachelX + 1 28115 KachelY + 1 7179 -0.44610079 1.39920256 -25.559693 80.168401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39921893-1.39920256) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39921893-1.39920256) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44619666--0.44610079) × cos(1.39921893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170736796196627 × 6371000     		do = 104.28394700588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44619666--0.44610079) × cos(1.39920256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170752925807689 × 6371000     		du = 104.293798775051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39921893)-sin(1.39920256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170736796196627-0.170752925807689)×R²
    abs(-0.44610079--0.44619666)×1.61296110622877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61296110622877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61296110622877e-05×40589641000000     		ar = 10876.6275789328m²