Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28114 / 7173
↖ ↑ ↗
← N 80.174027°
W 25.565185°		 ← 104.23 m → N 80.174027°
W 25.559693°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
N 80.173090°
W 25.565185°		 ← 104.24 m →
10 865 m²		 N 80.173090°
W 25.559693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428993225097656 y=0.109458923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428993225097656 × 216)
    floor (0.428993225097656 × 65536)
    floor (28114.5)     		tx = 28114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109458923339844 × 216)
    floor (0.109458923339844 × 65536)
    floor (7173.5)     		ty = 7173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28114 / 7173 ti = "16/28114/7173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28114/7173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28114 ÷ 216
    28114 ÷ 65536     		x = 0.428985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7173 ÷ 216
    7173 ÷ 65536     		y = 0.109451293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109451293945312 × 2 - 1) × π
    0.781097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45388989155067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44619666} λ = -0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45388989155067))-π/2
    2×atan(11.6335119181251)-π/2
    2×1.48504853967181-π/2
    2.97009707934361-1.57079632675     		φ = 1.39930075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39930075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.174027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28114 KachelY 7173 -0.44619666 1.39930075 -25.565185 80.174027
    Oben rechts KachelX + 1 28115 KachelY 7173 -0.44610079 1.39930075 -25.559693 80.174027
    Unten links KachelX 28114 KachelY + 1 7174 -0.44619666 1.39928439 -25.565185 80.173090
    Unten rechts KachelX + 1 28115 KachelY + 1 7174 -0.44610079 1.39928439 -25.559693 80.173090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39930075-1.39928439) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39930075-1.39928439) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44619666--0.44610079) × cos(1.39930075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170656177015018 × 6371000     		do = 104.234705795726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44619666--0.44610079) × cos(1.39928439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170672297001442 × 6371000     		du = 104.244551686286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39930075)-sin(1.39928439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170656177015018-0.170672297001442)×R²
    abs(-0.44610079--0.44619666)×1.61199864244232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61199864244232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61199864244232e-05×40589641000000     		ar = 10864.850638634m²