Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28112 / 7057
↖ ↑ ↗
← N 80.282177°
W 25.576172°		 ← 103.10 m → N 80.282177°
W 25.570679°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 80.281250°
W 25.576172°		 ← 103.11 m →
10 628 m²		 N 80.281250°
W 25.570679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428962707519531 y=0.107688903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428962707519531 × 216)
    floor (0.428962707519531 × 65536)
    floor (28112.5)     		tx = 28112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107688903808594 × 216)
    floor (0.107688903808594 × 65536)
    floor (7057.5)     		ty = 7057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28112 / 7057 ti = "16/28112/7057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28112/7057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28112 ÷ 216
    28112 ÷ 65536     		x = 0.428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7057 ÷ 216
    7057 ÷ 65536     		y = 0.107681274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107681274414062 × 2 - 1) × π
    0.784637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46501125226253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44638841} λ = -0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46501125226253))-π/2
    2×atan(11.7636145185145)-π/2
    2×1.4859923230081-π/2
    2.9719846460162-1.57079632675     		φ = 1.40118832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40118832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.282177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28112 KachelY 7057 -0.44638841 1.40118832 -25.576172 80.282177
    Oben rechts KachelX + 1 28113 KachelY 7057 -0.44629254 1.40118832 -25.570679 80.282177
    Unten links KachelX 28112 KachelY + 1 7058 -0.44638841 1.40117214 -25.576172 80.281250
    Unten rechts KachelX + 1 28113 KachelY + 1 7058 -0.44629254 1.40117214 -25.570679 80.281250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40118832-1.40117214) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40118832-1.40117214) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44638841--0.44629254) × cos(1.40118832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168795993547041 × 6371000     		do = 103.098528483529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44638841--0.44629254) × cos(1.40117214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168811941358279 × 6371000     		du = 103.108269211592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40118832)-sin(1.40117214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168795993547041-0.168811941358279)×R²
    abs(-0.44629254--0.44638841)×1.59478112385647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59478112385647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59478112385647e-05×40589641000000     		ar = 10628.184981104m²