Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28111 / 7174
↖ ↑ ↗
← N 80.173090°
W 25.581665°		 ← 104.24 m → N 80.173090°
W 25.576172°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
N 80.172153°
W 25.581665°		 ← 104.25 m →
10 866 m²		 N 80.172153°
W 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428947448730469 y=0.109474182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428947448730469 × 216)
    floor (0.428947448730469 × 65536)
    floor (28111.5)     		tx = 28111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109474182128906 × 216)
    floor (0.109474182128906 × 65536)
    floor (7174.5)     		ty = 7174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28111 / 7174 ti = "16/28111/7174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28111/7174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28111 ÷ 216
    28111 ÷ 65536     		x = 0.428939819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7174 ÷ 216
    7174 ÷ 65536     		y = 0.109466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428939819335938 × 2 - 1) × π
    -0.142120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44648428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109466552734375 × 2 - 1) × π
    0.78106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45379401775143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44648428} λ = -0.44648428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45379401775143))-π/2
    2×atan(11.6323966226036)-π/2
    2×1.48504035855748-π/2
    2.97008071711496-1.57079632675     		φ = 1.39928439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44648428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.581665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39928439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.173090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28111 KachelY 7174 -0.44648428 1.39928439 -25.581665 80.173090
    Oben rechts KachelX + 1 28112 KachelY 7174 -0.44638841 1.39928439 -25.576172 80.173090
    Unten links KachelX 28111 KachelY + 1 7175 -0.44648428 1.39926803 -25.581665 80.172153
    Unten rechts KachelX + 1 28112 KachelY + 1 7175 -0.44638841 1.39926803 -25.576172 80.172153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39928439-1.39926803) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39928439-1.39926803) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44648428--0.44638841) × cos(1.39928439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170672297001442 × 6371000     		do = 104.244551686286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44648428--0.44638841) × cos(1.39926803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170688416942186 × 6371000     		du = 104.254397548946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39928439)-sin(1.39926803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170672297001442-0.170688416942186)×R²
    abs(-0.44638841--0.44648428)×1.61199407440471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61199407440471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61199407440471e-05×40589641000000     		ar = 10865.8768695697m²